文本向量化(欧氏距离,哈夫曼距离,L1,L2,TF-IDF)

一、欧氏距离和哈夫曼距离

假设有X = (x1,x2,...,xn)和Y = (y1,y2,...,yn)

欧式距离，即欧几里得距离，是最常见的两点之间的距离表示法，它定义在欧几里得空间中，欧式距离可表示为：

$\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i} - y_{i})^{2}}$

曼哈顿距离，是欧几里得空间中两点之间的线段在坐标轴上的投影的距离的和，可以表示为：

$\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left | x_{i} - y_{i} \right |}$

 

二、L1范数和L2范数归一化与正则化

1.归一化:该向量各个元素除以对应的范数

假设有向量X=(x₁,x₂,x₂,...x_n)

L1范数：向量各个元素的绝对值之和，即$\sum_{i=1}^{n}\left | x_{i} \right |$

L2范数：$\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$

则可得L1、L2范数归一化公式为：$\frac{X(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})}{L1}$、$\frac{X(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})}{L2}$

特别的是经过L2范数归一化之后，欧式距离和余弦相似度可以等价，假设有X₁，X₂向量，他们的欧式距离为D(X₁,X₂),余弦相似度为Sim(X₁,X₂)，转化公式为：$D\left( {{{\bf{X}}_{\rm{1}}},{{\bf{X}}_{\rm{2}}}} \right) = \sqrt {2 - 2Sim\left( {{{\bf{X}}_{\rm{1}}},{{\bf{X}}_{\rm{2}}}} \right)}$（转化公式推导由参考链接二得）

2.正则化:正则化(Regularization) 是机器学习中对原始损失函数引入额外信息，以便防止过拟合和提高模型泛化性能的一类方法的统称。也就是目标函数变成了原始损失函数+额外项，常用的额外项一般有两种，称作L1正则化和L2正则化（实际是L2范数的平方）。

以线性回归为例，使用L1正则化的模型叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。

线性回归L1正则化损失函数：$\min_w [\sum_{i=1}^{N}(w^Tx_i - y_i)^2 + \lambda \|w\|_1 ]$

线性回归L2正则化损失函数：$\min_w[\sum_{i=1}^{N}(w^Tx_i - y_i)^2 + \lambda\|w\|_2^2]$

深入了解见参考链接四

 

三、TF-IDF文本向量化

在一份给定的文件里，词频（term frequency，tf）指的是某一个给定的词语在该文件中出现的频率。这个数字是对词数（term count）的归一化，以防止它偏向长的文件。（同一个词语在长文件里可能会比短文件有更高的词数，而不管该词语重要与否。）对于在某一特定文件里的词语${\displaystyle t_{i}}$来说，它的重要性可表示为：
${\displaystyle \mathrm {tf_{i,j}} ={\frac {n_{i,j}}{\sum _{k}n_{k,j}}}}$

以上式子中${\displaystyle n_{i,j}}$是该词在文件${\displaystyle d_{j}}$中的出现次数，而分母则是在文件${\displaystyle d_{j}}$中所有字词的出现次数之和。

逆向文件频率（inverse document frequency，idf）是一个词语普遍重要性的度量。某一特定词语的idf，可以由总文件数目除以包含该词语之文件的数目，再将得到的商取以10为底的对数得到：
${\displaystyle \mathrm {idf_{i}} =\lg {\frac {|D|}{|\{j:t_{i}\in d_{j}\}|}}}$

其中|D|：语料库中的文件总数 ${\displaystyle |\{j:t_{i}\in d_{j}\}|}$：包含词语${\displaystyle t_{i}}$的文件数目（即${\displaystyle n_{i,j}\neq 0}$的文件数目）如果词语不在资料中，就导致分母为零，因此一般情况下使用${\displaystyle 1+|\{j:t_{i}\in d_{j}\}|}$ 然后${\displaystyle \mathrm {tf{}idf_{i,j}} =\mathrm {tf_{i,j}} \times \mathrm {idf_{i}} }$ 某一特定文件内的高词语频率，以及该词语在整个文件集合中的低文件频率，可以产生出高权重的tf-idf。因此，tf-idf倾向于过滤掉常见的词语，保留重要的词语。

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python实现TF-IDF以sklearn为例，可以使用CountVectorizer()将语料转化为词频矩阵，再使用TfidfTransformer()重置词频矩阵的权重两函数的shape是一致的。另外可以使用TfidfVectorizer()一步到位，如下：

from sklearn.feature_extraction.text import TfidfVectorizer

corpus = [
    'This is the first document',
    'This document is the second document',
    'And this is the third one',
    'Is this the first document',
]
vectorizer = TfidfVectorizer()
X = vectorizer.fit_transform(corpus)
# print(X.toarray())
print(X.shape)  # (4,9) 4个文档，共九个词语

参考：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/45902017

https://www.cnblogs.com/Kalafinaian/p/11180519.html

https://zhuanlan.zhihu.com/p/137073968

https://www.cnblogs.com/zingp/p/10375691.html

https://zhuanlan.zhihu.com/p/97273457

https://zh.wikipedia.org/wiki/Tf-idf

https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.feature_extraction.text.TfidfVectorizer.html?highlight=tf%20idf#sklearn.feature_extraction.text.TfidfVectorizer