关于数论

1 .质数筛 \(x\)是否为质数

质数-若一个正整数无法被除了1和它自身之外的任何自然数整除，则称该数为
质数(prime)

否则称该正整数为
合数(Composite number)

1. 试除法(定义)

     patr A
     bool Is_Prime(int x){
     if(x<2) return 0;
     for(int i=2;i<=x-1;i++)
         if(x%i==0) return 0;
     return 1;
    }
    part B
    bool Is_Prime(int x){
    if(x<2) return 0;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
        if(x%i==0) return 0;
     return 1;
    }
   

   一个数\(x\)如果有因数，一定是一个大于\(\sqrt{x}\)一个效应\(\sqrt{x}\)
   或者就是\(\sqrt{x}\)所以只要枚举1~\(\sqrt{x}\)

   2.埃氏筛oioioioio

   每个质数\(x\)的倍数\(2x,3x,4x......\)就是合数

    bool Check[];
    void Get_Prime(int n)//1~n{
        for(int i=2;i<=n;i++)
          if(!Check[i]){
            for(int j=2;i*j<=n;j++)
                Check[i*j]=1;
         }
    }
   

   3 .线性筛

   埃氏筛会重复标记 12—既是3的倍数也是2的倍数

   所以线性筛！首先，任意一个合数都可以被分解成一个质数和一个数的积。对于任意一个合数，我们用“这个合数 = 最小质因数 × 最大因数(非自己)”，来表示

   bool Is_Prime[];
   int Prime[],top=0;
   void Get_Prime(int n){
         for(int i=2;i<=n;i++){
             if(!Is_Prime[i]) Prime[++top]=i;
             for(int j=1;i<=Prime[j]*i<=n&&j<=Top;j++){
                 Is_Prime[i*Prime[j]]=1;
                 if(i%Prime[j]==0) break;
             }
         }
   }  
   

2.欧拉函数(Euler's totient function)
欧拉 \(\varphi\)

\(\forall a,b \in N\),若\(a b\)的最大公因数为1，即\(gcd(a,b)=1 那么ab\) 互质

\(\varphi(n)\)就是1~n中与n互质的数的个数

将n分解质因数可得 \(n=p^{c_1}_1*p^{c_2}_2*...*p^{c_m}_m\)

\(\varphi(n)=n * \dfrac{p_1-1}{p_1}*\dfrac{p_2-1}{p_2}*...*\dfrac{p_m-1}{p_m}=n*\prod\limits_{质数p<n}(1-\dfrac{1}{p})\)

• [推导]

• 把\(n\)分解质因数后这些质因数在1~n中的倍数就是不能对\(\varphi(n)\)产生贡献的数，举个粒子：
  \(300=2^2*3^1*5^2\) 那么在\(1-300\)中 2 ，3 ，5 的倍数就无法与300互质1-300中有\(\dfrac{1}{2}*300\)个2的倍数，有\(\dfrac{1}{3}*300\)个3的倍数，有\(\dfrac{1}{5}*300\)个5的倍数

  \((\dfrac{1}{2}*300)+(\dfrac{1}{3}*300)+(\dfrac{1}{5}*300)=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5})*300\)

  同理 6 既是2的倍数也是3的倍数

  10 既是2的倍数也是5的倍数

  15 既是5的倍数也是3的倍数

  这些数每个被减了两遍所以要加回来

  1-300中有\(300*\dfrac{1}{6}\)个6的倍数......

  所以\((\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{15})*300\)这么多个数与300不互质

  转化一下

  \(（1-(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{15})）*300=\varphi(300)\)

  然后因式分解

  \(\varphi(300)=(1-\dfrac{1}{2})*(1-\dfrac{2}{3})*(1-\dfrac{4}{5})*300\)

  !

  再来一个？？

  \(\varphi(100)=1-(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{10})）*100=(1-\dfrac{1}{2})*(1-\dfrac{4}{5})*100\)

  ！！！

  int Got_Phi(int x){//找x的欧拉值
      int ans=x;//初始认为全与x互质 
      for(int i=2;i*i<=x;i++){
          if(x%i==0){//i是x的因数
            ans=ans*((i-1)/i);//如公式
            while(x%i==0) x/=i;//把次方剔除
          }
       }
      if(x>1) ans=ans*((x-1)/x);//x自己是质数
      return ans;
  }