AT_abc200_e [ABC200E] Patisserie ABC 2 题解

（麦口乐在跑步的时候随手就把这道题切了，吓哭了%%%）

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直接按题意排序显然会因为蛋糕数量爆多而gg，注意到蛋糕排序的第一关键字是三个维度的总和，而这个总和的范围是相对小的，考虑对每个总和分别计算蛋糕的方案数量。

假设 \(i+j+k=s\)，我们可以简单使用插板法 \(\large \binom{s-1}{2}\) 把 \(s\) 分成三个数，但 \(i,j,k \leq n\) 的限制没有被满足。

考虑容斥，强制一个、两个、三个维度的条件不被满足，再做插板，设总和为 \(s\) 的蛋糕数量为 \(f[s]\)

\[f[s]=\binom{s-1}{2}-3\times \binom{s-n-1}{2}+3\times \binom{s-2n-1}{2}-3\times \binom{s-3n-1}{2} \]

依次枚举维度总和，用其蛋糕数量和 \(x\) 比较，这样就能找出第 \(x\) 个蛋糕的维度和是多少，再进一步去确定 \(i,j,k\) 分别是多少即可，我们可以枚举 \(i\)，此时 \(j\) 的取值处在 \([\max(1,s-i-n),\min(n,ans-i-1)]\) 的区间里，原因可以考虑 \(k\) 取到最大和最小的情况。有了 \(j\) 的区间其实也就是知道了此时蛋糕的数量，再和 \(x\) 进行比较，最终确定位置即可。

点击查看代码

const int N=1e6+5;
int f[N*3];
int n,k,ans_sum,ansi,ansj,ansk;
int c(int x){
    if(x<=2) return 0;
    return (x-1)*(x-2)/2;
}
void xpigeon(){
    rd(n,k);
    for(int i=3;i<=3*n;i++){
        f[i]=c(i)-3*c(i-n)+3*c(i-2*n)-3*c(i-3*n);
    }
    for(int i=3;i<=3*n;i++){
        if(k>f[i]) k-=f[i];
        else{
            ans_sum=i;
            break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=ans_sum-2;i++){
        int l=max(1ll,ans_sum-i-n),r=min(n,ans_sum-i-1);
        if(l>r) continue;
        if(k>r-l+1){
            k-=r-l+1;
        }else{
            ansi=i;
            ansj=l+k-1;
            ansk=ans_sum-ansi-ansj;
            break;
        }
    }
    cout<<ansi<<" "<<ansj<<" "<<ansk<<'\n';
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
    xpigeon();
    return 0;
}