欧拉定理【p4861】按钮

Background

Ada被关在了一个房间里。

Description

房间的铁门上有一个按钮，还有一个显示屏显示着“1”。

旁边还有一行小字：“这是一个高精度M进制计算器，每按一次按钮，屏幕上的数便会乘以K。当个位数再次变为1时，门就开了。”

由于Ada急于出去，所以你要在1s之内求出她的最小按键次数。

Input

一行，两个整数M和K。

Output

一行一个数字，表示最小按键次数。

如果无论Ada按多少次都无法让门打开，输出"Let's go Blue Jays!"（不含引号）。

这题太水了吧 emmm(竟然是个紫题？？)

之前同桌出过这题,所以就切了@王小呆

很容易发现,我们需要求解的是这个东西\(K^x \equiv 1(mod\ m)\)

突然想到一个定理.--->欧拉定理：$a^{\phi(p)} \equiv 1 (mod\ p) $

这个定理有解的情况是\(gcd(a,p)=1\)

因此判断无解就是\(gcd(a,p)!=1\)了.

但是这题没有设置判断无解的分数,差评。(别问我怎么知道的。qwq

然后我们求解\(\phi(p)\)即可。

\[\phi(x)=x \times \prod_{i=1}^{r} (1-\frac{1}{p_i}) \]

其中\(p_i\)为质数

但这不一定是最小整数解,怎么办？

枚举\(\phi(p)\)的因子就好了啊.

这个具体证明挺简单的,如果大家不会我再填坑好了。

所以就不打算证明。

我们\(O(\sqrt n)\)的求出\(\phi(n)\)再\(O(\sqrt{\phi(n)})\)的枚举其因子就好了。

\(O(\sqrt n)\)求\(\phi(n)\)就不多说了,相信大家都会。其实是我懒

如果不会的话,可以去@王小呆里面找一找,应该会有。

还有,吐槽一下数据很水。

取模写成对\(\phi(n)\)取模,竟然有\(90pts\)。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define int long long 
#define R register

using namespace std;

inline void in(R int &x)
{
	int f=1;x=0;char s=getchar();
	while(!isdigit(s)){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while(isdigit(s)){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
	x*=f;
}

int n,m,ans=2147483647666LL;

int gcd(R int x,R int y){return y==0 ? x:gcd(y,x%y);}

inline int phi(R int x)
{
	R int res=x;
	for(R int i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i==0)
		{
			res=res/i*(i-1);
			while(x%i==0)x/=i;
		}
	}
	if(x>1) res=res/x*(x-1);
	return res;
}

inline int ksm(R int x,R int y)
{
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%n)
		if(y&1)res=res*x%n;
	return res;
}
signed main()
{
	in(n),in(m);
	if(gcd(n,m)!=1)
	{
		puts("Let's go Blue Jays!");
		return 0;
	}
	R int tmp=phi(n);
	for(R int i=1;i*i<=tmp;i++)
	{
		if(tmp%i!=0)continue;
		if(ksm(m,i)%n==1)
		{
			ans=i;
			break;
		}
		if(ksm(m,tmp/i)%n==1)ans=min(ans,tmp/i);
	}
	printf("%lld",ans);
}