2.4 浮点数

 2.4.1 二进制小数

　　理解浮点数的第一步是考虑含有小数值的二进制数字。首先，我们来看看更熟悉的十进制表示法。十进制表示法使用如下形式的表示：d_md_m-1…d₁d₀.d_-1d_-2d_-n。其中每个十进制数d_i的取值范围是0~9。这个表达描述的数值d定义如下：

 

 

　　数字权的定义与十进制小数点符号('.' )，这意味着小数点左边的数字的权是10的正幂，得到整数值，而小数点右边的数字的权是10的负幂，得到小数值。例如，12.34₁₀表示数字1*10¹+2*10⁰+3*10^-1+4*10^-2=

 

 

 　　类似，考虑一个形如b_mb_m-1…b₁b₀.b_-1b_-2…b_-n-1b_-n的表示法，其中每个二进制数字，或者成为位，b_i的范围是0和1，这种表示方法表示的数b的定义如下：

 

 

　　符号'.' 现在变成了二进制的点，点左边的位的权是2的正幂，点右边的权是2的负幂。例如，101.11₂表示数字1*2²+0*2¹+1*2⁰+1*2^-1+1*2^-2=。

 

 

　　从上式可以看出，二进制小数点向左移动一位相当于这个数被2除。例如，101.11₂表示数，而10.111₂表示数。类似，二进制小数点像右移动一位相当于该值乘2。例如1011.1₂表示数。

 

　　注意，形如0.11…1₂的数表示的是刚好小于1的数。例如，0.111111₂表示，我们将用简单的表达法1.0-来表示这样的数值。

 　　假定我们仅考虑有限长度的编码，那么十进制表示法不能准备地表达像1/3和5/7这样的数。类似，小数的二进制表示法只能表示那些能够被写成x*2^y的数。其他的值只能够被近似地表示。例如，数字1/5可以用十进制小数0.20精确表示。不过，我们并不能把它准备地表示为一个二进制小数，我们只能近似的表示它，增加二进制的长度可以提高表示的精度。　　

 

 练习题2.45 填写下表中的缺失的信息　　

小数值	二进制表示	十进制表示
1/8	0.001	0.125
3/4	0.11	0.75
25/16	1.1001	1.5625
43/16	10.1011	2.6785
9/8	1.001	1.125
47/8	101.111	5.875
51/16	11.0011	3.1875

2.4.2 IEEE浮点表示

　　定点表示法不能很有效的表示非常大的数字。例如，表达式5*2¹⁰⁰是用101后面跟随100个零的位模式来表示。相反，我们希望通过给定x和y的值，来表示形如x*2^y的数。

　　IEEE浮点标准用V=(-1)^s*M*2^E的形式来表示一个数：

• 符号(sign)　　 s决定这数是负数(s=1)还是正数(s=0)，而对于数值0的符号位解释作为特殊情况处理。
• 尾数(significand)　　M是一个二进制小数，它的范围是 1~2-，或者是0~1-。

•  阶码(exponent)　　E的作用是对浮点数加权，这个权重是2的E次幂(可能是负数)。将 浮点数的位表示划分为三个阶段，分别对这些值进行编码：

• 一个单独的符号位s直接编码符号s。
• k位的阶码字段exp = e_k-1...e₁e₀编码阶码E。
• n位的小数字段frac=fn_-1...f₁f₀编码尾数M，但是编码出来的值也依赖于阶码字段的值是否等于0。

 　　图示给出了将三个装进字中最常见的格式。在单精度浮点格式(C语言中的float)中，s、exp、和frac字段分别为1位、k=8和n=23位，得到一个32位的表示。在双进度浮点格式(C语言的double)中，s、exp和frac字段分别为1位、k=11位和n=52位，得到一个64位的表示

 

 　　给定位表示，根据exp的值，被编码的值可以分成三种不同的情况(最后一种情况有两个变种) 

 　　情况1：规格化的值

 　　当exp的位模式即不全是0(数值0)，也不全为1(单精度数值为255，双精度数值为2047)时，都属于这类情况。在这种情况下，阶码字段被解释为以偏置(biased)形式表示的有符号整数。也就是说，阶码的值是E=e-Bias，其中e是无符号数，其位表示为e_k-1...e₁e₀，而Bias是一个等于2^k-1-1(单精度是127，双精度是1023)的偏置值。由此产生指数的取值范围，对于单精度是-126~+127，而对于双精度是-1022~+1023。

 　　小数字段frac被解释为描述小数值f，其中0<=f<1，其二进制表示为0.f_n-1...f₁f₀，也就是二进制小数点在最高有效位的左边。尾数定义为M=1+f。有时，这种方式也叫做隐含的以1开头的表示，因此我们可以把M看成一个二进制表达式为1.f_n-1fn_-2...f₀的数字。既然我们总是能够调整阶码E，使得尾数M在范围1<=M<2之中，那么这种表示方法是一种轻松获得额外精度位的技巧。既然第一位总是等于1，那么我们就不需要显示地表示它。

　　情况2：非规格化的值

　　当阶码域为全0时，所表示的数是非规格化形式。在这种情况下，阶码值是E=1-Bias，而尾数的值是M=f，也就是小数字段的值，不包含隐含的开头的1。

　　非规格化数有两个用途。首先，它们提供了一种表示数值0的方法，因为使用规格化数，我们必须总是使M>=1，因此我们就不能表示0。实际上，+0.0的浮点表示的位模式为全0；符号位是0，阶码字段全是0(表明是一个非规格化值)，而小数域也全是0，这就是得到M=f=0。令人奇怪的是，当符号位位1，而其他域全是0时，我们得到值-0.0。根据IEEE的浮点格式，值+0.0和-0.0在某些方面被认为是不同的，而在其他方面是相同的。

　　非规格化的另外一个功能是表示那些非常接近于0.0的数。它们提供一种熟悉，称为逐渐溢出，其中，可能的数值分布均匀的接近于0.0。

　　情况3：特殊值

　　最后一类数值时当指阶码全为1的时候出现的。当小数域全为0时，得到的值表示无穷，当s=0时是+，或者当s=1时是-。当我们把两个非常大的数相乘，或者除以0时，无穷能够表示溢出的结果。当小数域为非零时，结果值被称为"NaN"，(Not aNumber)。一些运算的结果不能是实数或无穷，就会返回这样的NaN值，比如计算。在某些应用中，表示未初始化的数据是，还是很有用处的。

 2.4.3 数字示例

　　图示展示了一组数值，它们可以用假定的6位格式来表示，有k=3的阶码位和n=2的尾数位。偏置量是2^3-1-1=3。图示a部分显示了所有可表示的值(除了NaN)。两个无穷值在两个末端。最大数量值的规格化数14。非规格化数聚集在0的附近。图的b部分中，我们只展示了介于-1.0~+1.0之间的数值，这样就能看得更清楚了。两个零是特殊的非规格化数。可以观察到，那些可表示的数并不是均匀分布的--越靠近原点处它们越稠密。

 　　图示展示了假定的8位浮点格式的示例，其中有k=4的阶码位和n=3的小数位。偏置量是2^4-1-1=7。图被分成了三个区域，来描述三类数字。不同的列给出了阶码字段是如何编码阶码E的，小数字段是如何编码尾数M的，以及它们一起是如何形成要表示的值V=2^E*M的。从0自身开始，最靠近0的是非规格化数。这种格式的非规格化数的E=1-7=-6，得到权2^E=1/64。小数f的值范围是0,1/8,...,7/8，从而得到数V的范围是0~1/64*7/8=7/512。 

 

 

 　　这种形式的最小规格化数同样有E=1-7=-6，并且小数取值范围也是0,1/8,...7/8。然而，尾数在范围1+0=1和1+7/8=15/8之间，得出数V在范围8/512=1/16和15/512之间。

 　　可以观察到最大非规格化数7/512和最小非规格化数8/512之间的平滑转变。这种平滑性归功于我们对非规格化数的E的定义。通过将E定义为1-Bias，而不是-Bias，我们可以补偿非规格化数的尾数没有隐含的开头1。

　　当增大阶码时，我们成功地得到更大的规格化值，通过1.0后得到最大的规格化数。这个数具有阶码E=7，得到一个权2^E=128。小数等于7/8得到尾数M=15/8。因此，数值是V=240。超过这个值就会 溢出到+。

 

 

 　　图示展示了一些重要的单精度和双精度浮点数的表示和数字值。　　

 

 

 

•  值+0.0 总有一个全为0的位表示。
• 最小的正非规格化值的位表示，是由最低有效位为1而其他所有位为0构成的。它具有小数(和尾数)值M=f=2^-n和阶码值E=-2^k-1+2。因此它的数字值是
• 最大的非规格化值的位模式是由全为0的阶码字段和全为1的小数字段组成的。它有小数(和尾数)值M=f=1-2^-n(我们写成1-)和阶码值E=-2^k-1+2。因此，数值，这仅比最小的规格化值小一点。
• 最小的正规格化值的位模式的阶码字段的最低有效位位1，其他位全为0。它的尾数值M=1，而阶码值E=-2^k-1+2。因此，数值
• 值1.0
• 最大的规格化值的位表示的符号位为0，阶码的最低有效位等于0，其他位等于1。它的小数值f=1-2^-n，尾数M=2-2-n(写作2-)。它的阶码值E=2^k-1-1，得到数值。