BZOJ1597 [Usaco2008 Mar]土地购买 动态规划 斜率优化

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题意概括

　　有N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

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题解

　　我们设长为a，宽为b。

　　我们先把a和b都排个序，然后把被其他包含的去掉，于是我做到a是降序的，b是升序的。

　　然后，不难列出dp方程：

　　对于删改过的，而且是有序的，那么：

　　f[ i ] = min( f[ j ] + a[ j + 1 ] × b[ i ] )  (0 ≤ j < i)

　　然而我们发现要超时，于是就要用到经典的斜率优化。

　　如果从 f[j] 转移比从 f[k] 转移更优，(j<k)，那么有：

　　f[j] + a[j+1] * b[i] > f[k] + a[k+1] * b[i]

　　移项得：

　　b[i] < (f[k] - f[j]) / (a[k+1] - a[j+1])

　　设 g[j,k] = (f[k] - f[j]) / (a[k+1] - a[j+1]) 

　　那么，如果g[j,k]<b[i]，因为b[i+k] (k≥0)≥b[i]，所以 j 永远比 k 差，那么 j 就可以扔掉了。

　　第二，如果a<b<c，且 g[a,b] > g[b,c]，那么b永远不可能为决策点。

　　因为：如果g[b,c] < b[i], 那么b显然没用了。

　　如果g[b,c]≥b[i], 那么因为 g[a,b] > g[b,c] ，所以g[a,b] > b[i] , 那么从a转移比从b更优，b还是废了。

　　于是我们用单调队列来维护这个东东即可。

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代码

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=50000+5;
struct ground{
	int a,b;
}g[N];
int n,a[N],b[N],q[N],head,tail;
bool alive[N];
LL f[N];
bool cmp(ground x,ground y){
	if (x.b==y.b)
		return x.a<y.a;
	return x.b<y.b;
}
void DelUseless(){
	int n_=0;
	memset(alive,true,sizeof alive);
	sort(g+1,g+n+1,cmp);
	int Max=0;
	for (int i=n;i>=1;i--)
		if (g[i].a<=Max)
			alive[i]=0;
		else
			Max=g[i].a;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		if (alive[i])
			a[++n_]=g[i].a,b[n_]=g[i].b;
	n=n_;
	// a递减，b递增 
}
double G(int j,int k){
	double A=f[k]-f[j],B=a[j+1]-a[k+1];
	return A/B;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d",&g[i].a,&g[i].b);
	DelUseless();
	// f[i] = min(f[j] + a[j+1] * b[i])
	// 如果 j < k 且从 j 转移更优, 那么：
	// f[j] + a[j+1] * b[i] > f[k] + a[k+1] * b[i]
	// b[i] < (f[k] - f[j]) / (a[k+1] - a[j+1])
	// 设 g[j,k] = (f[k] - f[j]) / (a[k+1] - a[j+1]) 
	head=1,tail=0;
	memset(f,0,sizeof f);
	q[++tail]=0;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		while (head<tail&&G(q[head],q[head+1])<b[i])
			head++;
		f[i]=f[q[head]]+1LL*a[q[head]+1]*b[i];
		while (head<tail&&G(q[tail-1],q[tail])>G(q[tail],i))
			tail--;
		q[++tail]=i;
	}
	printf("%lld",f[n]);
	return 0;
}
/*
5
25 25
15 15
30 30
25 35
20 15
*/