[Project Euler] 来做欧拉项目练习题吧: 题目012

[Project Euler] 来做欧拉项目练习题吧: 题目012

周银辉

问题描述：

The sequence of triangle numbers is generated by adding the natural numbers. So the 7^thtriangle number would be 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. The first ten terms would be:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Let us list the factors of the first seven triangle numbers:

1: 1
3: 1,3
6: 1,2,3,6
10: 1,2,5,10
15: 1,3,5,15
21: 1,3,7,21
28: 1,2,4,7,14,28

We can see that 28 is the first triangle number to have over five divisors.

What is the value of the first triangle number to have over five hundred divisors?

问题分析：

题目要求找出第一个拥有超过500个约数的三角数。

首先，求第i个三角数很容易，其是1～i之和

long get_trangle_number(int i)

{

return ((long)(1+i)*i)/2;

}

难在如何求一个数n的约数，观察 28: 1,2,4,7,14,28 除了1和28(n本身)外，其它约数中，关键约数是2和7，剩下的则是关键约数的倍数

所以，先求出关键的这些约数，然后再求约数的倍数，而关键的约数也就是质因数(prime factor),求一个数的质因数参考003题。

get_divisors_count这个函数是上述算法的粗糙版本，

int get_divisors_count(int number)

{

if(number<1)

{

return 1;

}

int count = 0;

int factor = 2;

int n = number;

int buffer_sz = number+1;

int i;

int array[buffer_sz];

for(i=0; i<buffer_sz; i++)

{

array[i]=0;

}

array[1] = 1;

array[number] = 1;

while(n>1)

{

if(n%factor==0)

{

//printf("prime factor found: %d\n", factor);

array[factor]=1;

i=2;

while(number%(i*factor)==0)

{

array[i*factor]=1;

i++;

}

while(n%factor==0)

{

n/=factor;

}

factor++;

}

//printf("divisors of %d: ", number);

for(i=0; i<buffer_sz; i++)

{

if(array[i]==1)

{

//printf("%d ", i);

count++;

}

return count;

}

其中有个问题是如何记录已经找到的约数,由于有可能存在重复查找(比如14是2的倍数也是7的倍数，所以重复查找了)则不能简单地累计，

要记录这些数，最简单的方法是用hashtable之类的，但标准C里面没有内置，所以我用了一个数组，数组下标表示约数，值为1则表示找到了。

数组对于比较小的数没问题，但数太大的话，一是遍历是效率低下，二是如果在栈上分配的容易导致内存错误。

上述方法是可以改进的，然后得到了get_divisors_count2这个函数，理论基础来自于这里：http://mathforum.org/library/drmath/view/55843.html

于是我们得到更高效的函数：

int get_divisors_count2(long number)

{

if(number<1)

{

return 1;

}

int count = 1;

int factor = 2;

long n = number;

int i, t;

while(n>1)

{

if(n%factor==0)

{

//printf("prime factor found: %d\n", factor);

t = 1;

while(n%factor==0)

{

t++;

n/=factor;

}

count *= t;

}

factor++;

}

return count;

}

注：当完成题目后，对于某些题，官方网站会给出参考答案，在我的博客里不会将官方答案贴出来，仅仅会写下我自己当时的思路，除非两者不谋而合。另外，如果你有更好的思路，请留言告诉我，我非常乐意参与到讨论中来。

posted @ 2011-02-16 07:21 周银辉阅读(1620) 评论(9) 编辑收藏

发表评论

　回复　引用　查看　

#1楼 2011-02-16 10:35 mirguest

参照这个方法，我也写了一个，不过还是python的。

# -*- coding:utf-8 -*-
import psyco 
psyco.full() 
def gentriangle():
    i=1
    while True:
        yield i*(i+1)/2
        i+=1

def isprime(n):
    for t in xrange(2,int(n**0.5)+1):
        if n%t==0:
            return False
    return True

def genprime():
    x=2
    while True:
        if isprime(x):
            yield x
        x+=1

def length(n,x):
    """
    >>> l(45,3)
    2
    """
    i=0
    while True:
        if n%x**(i+1)==0:
            i+=1
        else:
            return i

def divisor(n,primes=[2],f=genprime(),p=False):
    if p==True:print len(primes)
    mydict={}
    while (int(n**0.5)+1)>primes[-1]:
        p=f.next()
        if p not in primes: 
            primes.append(p)
    # every primes' length
    for i in primes:
        if length(n,i)!=0:
            mydict[i]=length(n,i)
    return mydict

def factorlength(n):
    if n==1:return 1
    mydict=divisor(n)
    r=1
    for i in mydict.values():
        r*=(i+1)
    return r

if __name__=='__main__':
    #速度最快
    from time import clock
    t1=clock()
    for i in gentriangle():
        if factorlength(i)>=500:
            print i
            break
    t2=clock()
    print t2-t1
    print divisor(i,p=True)

的确用了这个方法后，在要求的数字越大时，其速度反而更快。
不过写的有点烦琐。我看有个人只用了50ms。
我算法真的不行啊。

　回复　引用　查看　

#2楼 [楼主] 2011-02-16 10:47 周银辉

@mirguest
呵呵呵...

　回复　引用　查看　

#3楼 2011-02-16 14:56 mirguest

后面的题真够难的。做不下去啊。

　回复　引用　查看　

#4楼 [楼主] 2011-02-16 15:13 周银辉

@mirguest
做到多少题了？

　回复　引用　查看　

#5楼 2011-02-17 11:02 mirguest

@周银辉
今天刚到31题，还没开做。明天就要回学校，估计以后有空再玩玩。

　回复　引用　查看　

#6楼 2011-02-21 15:22 fluxay

求了质因数之后很容易求约数个数.
比如28=2^2*7
则28的约数个数为(2+1)*(1+1)
72=3^2*2^3
则72的约数个数为(2+1)*(3+1)

用乘法原理想想就知道这是为什么了.
好像这个东西还有个专门的名字,叫算数基本定理还是什么的.

　回复　引用　查看　

#7楼 2011-03-01 16:16 玫瑰季节

为什么要把i*(i+1)/2 给直接算出来呢？有些费解

　回复　引用　查看　

#8楼 [楼主] 2011-03-04 14:25 周银辉

@玫瑰季节
你的意思是没必要求?

　回复　引用　查看　

#9楼 2011-03-04 15:46 玫瑰季节

完全没有必要, 用a*b来代替i * (i+1) / 2

如果, i & 1 = 0 则a = i / 2, b = i + 1;

否则 a = i, b = (i + 1) / 2

假设(I) a = a1^(n1) * a2^(n2) * a3^(n3) * a4^(n4) .... (ai 为质数, ni >= 1)

同样 (II) b = b1^(m1) * b2^(m2) * b3^(m3) * b4^(m4) .... (bi为质数, mi>=1)

则 a*b一定可以直接利用(I),(II)的结果进行类似的描述, 剩下的, 就不需要过多解释了吧

刷新评论列表刷新页面返回页首

发表评论

昵称： [登录] [注册]

主页：

邮箱：(仅博主可见)