酉三角化和实正交三角化
将学习到什么
介绍一个非常有用的定理：任何复方阵 \(A\) 与以 \(A\) 的特征值作为对角元素的一个三角矩阵酉相似, 以及总可以通过实正交相似将矩阵化为一个实的拟三角型并作了相应的推广.
Schur 型
**证明：** 设 $U_1=[x \quad u_2 \quad \cdots \quad u_n]$ 是任意一个第一列为 $x$ 的酉矩阵，比方说利用 [QR 分解](http://www.cnblogs.com/zhoukui/p/7746371.html)中定理 1.1 中的方法构造 $U_1=U(x,e_1)$, 这样就有
\\begin{align}
U\_1^\*AU\_1 &=U\_1^*\\begin{bmatrix} Ax & Au\_2 & \cdots & Au\_n \\end{bmatrix}=U\_1^\*\\begin{bmatrix} \lambda\_1 x & Au\_2 & \cdots & Au\_n \\end{bmatrix} \\notag \\\\
&=\\begin{bmatrix} x^\* \\\\ u\_2^\* \\\\ \vdots \\\\ u\_n^\* \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \lambda\_1 x & Au\_2 & \cdots & Au\_n \\end{bmatrix} =\\begin{bmatrix} \lambda\_1 x^\*x & x^\*Au\_2 & \cdots & x^\*A u\_n \\\\ \lambda\_1 u\_2^\*x & && \\\\ \vdots & & A\_1 & \\\\ \lambda\_1u\_n^\*x & & & \\end{bmatrix} \\notag \\\\
&= \\begin{bmatrix} \lambda\_1 & \bigstar\\\\ 0 & A\_1 \\end{bmatrix} \\notag
\\end{align}
子矩阵 $A_1=[u_i^*Au_j]_{i,j=2}^n \in M_{n-1}$ 的特征值是 $\lambda_2,\cdots,\lambda_n$. 然后对矩阵 $A_1$ 重复上述操作直至完成.
如果 $A\in M_n(\mathbb{R})$ 所有的特征值都是实的，那么上面算法中所有的特征向量以及酉矩阵都可以取为实的.
推广
上个定理有个推广：由复矩阵组成的一个交换族可以通过单独一个酉相似同时化简为上三角型.
证明： 交换族中的矩阵存在共有的特征向量，在上个定理证明构造酉矩阵的过程中，选取对每一个 \(A\in \mathcal{F}\) 共有的单位特征向量，它们用同样的方式缩减 \(\mathcal{F}\) 中的每一个矩阵. 相似性将交换性也保留下来，所以关于 \(U\) 的所有组成成分都可以对交换族的所有成员用同样的方式选取. 在这个定理中，我们用到的公共特征向量是与 \(\mathcal{F}\) 中每一个矩阵的某个特征值相伴的，所以或许不能预先指定矩阵特征值的排列次序.
Schur 不等式
如果 \(A=[a_{ij}]\in M_n\) 有特征值 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\), 且它与一个上三角矩阵 \(T=[t_{ij}]\in M_n\) 酉相似，\(T\) 的对角元素是 \(A\) 的特征值按照某种次序的排列. 由酉相似中定理 1.1 得 \(\sum_{i,j=1}^n \lvert t_{ij} \rvert ^2=\sum_{i,j=1}^n \lvert a_{ij} \rvert ^2\), 可得
\begin{align}
\sum_{i=1}^n \lvert \lambda_i \rvert ^2 = \sum_{i,j=1}^n \lvert a_{ij} \rvert ^2 - \sum_{i<j} \lvert t_{ij} \rvert ^2 \leqslant \sum_{i,j=1}^n \lvert a_{ij} \rvert ^2 = \mathrm{tr}\,(AA^*)
\end{align}
其中等式当且仅当 \(T\) 是对角矩阵成立.
实 Schur 型
如果一个实矩阵 \(A\) 有任何非实的特征值，就没有希望通过一个实的相似将它化简为上三角型 \(T\), 因为 \(T\) 的某个主对角元素（\(A\) 的特征值）就会不是实的. 然而，我们总可以通过实正交相似将 \(A\) 化为一个实的拟三角型，成对共轭的非实特征值与 \(2\times 2\) 分块相伴.
证明：(a) 中的缩减方法与前边介绍的类似，了解即可. (b) 中通过对构造出来的矩阵 \(S\) 作 QR 分解 \(S=QR\)，\(Q^TAQ\) 即是上拟三角矩阵.
上面的定理有一个用交换族来表达的形式：一个由实矩阵组成的交换族可以通过单独一个实相似或者实正交相似被同时简化成共同的上拟三角型. 正如先前的介绍一样，我们不能控制与上一个定理中的对角块相对应的特征值出现的次序.
应该知道什么
- 复矩阵可以通过酉相似化简为上三角型
- 复矩阵组成的一个交换族可以通过单独一个酉相似同时化简为上三角型
- 总可以通过实正交相似将 \(A\) 化为一个实的拟三角型
- 一个由实矩阵组成的交换族可以通过单独一个实相似或者实正交相似被同时简化成共同的上拟三角型
