酉相似

将学习到什么？

本部分介绍酉相似的一些内容，主要是定义和两个特殊的酉相似。
 

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基础

酉相似是一种特殊类型的相似，定义如下

与相似关系一样，酉相似也是一种等价关系.

下面的定理说明了酉相似不改变矩阵的 2 范数。

  证明：由于 \(\mathrm{tr}\, (A^*A)=\sum_{i,j=1}^{n,m} \lvert a_{ij} \rvert ^2\), 所以只需验证 \(\mathrm{tr}\, (A^*A)=\mathrm{tr}\, (B^*B)\). 如下
\begin{align}
\mathrm{tr}\, (A^*A)=\mathrm{tr}\, (V^*B*U^*UBV)=\mathrm{tr}\, (B^*BVV*)=\mathrm{tr}\, (B^*B)\notag
\end{align}

与相似类似的是，酉相似对应于基的改变，不过是特殊类型的——酉相似对应的是从一组标准正交基到另一组标准正交基的改变。

 

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深入一点

酉相似于对角元素相等的矩阵

比如对于 2 维实矩阵 \(A\). 如果 \(A=[a_{ij}]\) 元素不相等，考虑平面旋转矩阵 \(U_{\theta}=\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\). 计算 \((\cos ^2\theta-\sin^2\theta)(a_{11}-a_{22})=2\sin \theta \cos\theta(a_{12}+a_{21})\) 可发现 \(U_{\theta}AU_{\theta}^T\) 的对角元素相等, 所以可选取 \(\theta \in (0,\pi / 2)\) 使得 \(\cot 2\theta=(a_{12}+a_{21}) / (a_{11}-a_{22})\), 这样就达到目的了. 对于 \(n>2\) 维的矩阵，定义 \(f(A)=\max \{\lvert a_{ii}-a_{jj} \rvert : i,j=1,2,\cdots,n\}\). 如果 \(f(A)>0\), 就对满足 \(f(A)=\{\lvert a_{ii}-a_{jj} \rvert \}\) 的一对指标 \(i,j\), 令 \(A_2=\begin{bmatrix} a_{ii} & a_{ij} \\ a_{ji} &a_{jj}\end{bmatrix}\). 设 \(U_2\in M_2\) 是酉矩阵，当 \(A\) 是实的时它是实的。且使得 \(U_2^*A_2U_2\) 的两个主对角元素都等于 \(\frac{1}{2}(a_{ii}+a_{jj})\), 以在酉矩阵中从 \(2\times 2\) 平面旋转构造出 \(U(\theta;i,j)\) 的方式从 \(U_2\) 构造出 \(U_{i,j}\in M_n\). 酉相似 \(U(i,j)^*AU(i,j)\) 只影响到行与列在 \(i\) 与 \(j\) 的元素，所以它保持 \(A\) 的每一个主对角元素不变，除非该元素在位置在 \(i\) 与 \(j\) 处，这样的元素以平均值 \(\frac{1}{2}(a_{ii}+a_{jj})\) 代替.
重复上述步骤，即可使矩阵 \(A\) 变换到所有对角元素都相等的矩阵.

 

与上 Hessenberg 矩阵酉相似

设给定 \(A=[a_{ij}]\in M_n\). 下面的构造表明 \(A\) 与一个第一条次对角线元素非负的上 Hessenberg 矩阵是酉相似的. 设 \(a_1\) 是 \(A\) 的第一列，它被分划成 \(a_1^T=[a_{11}, \xi^T]\), 其中 \(\xi \in \mathbb{C}^{n-1}\). 如果 \(\xi=0\), 就令 \(U_1=I_{n-1}\), 反之，就利用 QR 分解 中定理 1.1 中的构造方法构造 \(U_1=U(\lVert \xi \rVert _2 e_1 , \xi )\in M_{n-1}\), 它是将 \(\xi\) 变成 \(e_1\) 的正倍数的酉矩阵. 构造酉矩阵 \(V_1=I_1\oplus U_1\) 并注意到 \(V_1A\) 的第一列是列向量 \([a_{11},\lVert \xi \rVert _2, 0]^T\). 此外，\(A_1=(V_1A)V_1^*\) 与 \(V_1A\) 的第一列相同，且与 \(A\) 酉相似。重复上述步骤，经过至多 \(n-1\) 步，就构造产生出了一个上 Hessenberg 矩阵，它与 \(A\) 酉相似，且次对角线元素非负.

 

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应该学习到什么

• 酉相似不改变矩阵的 2 范数
• 酉相似把一组标准正交基变换到另一组标准正交基
• 酉相似于对角元素相等的矩阵
• 与上 Hessenberg 矩阵酉相似