UVALive 3720 UVA 1393 Highways

这是白书二代上的一个组合计数里面的一道练习题。

我用的方法是枚举在x*y的方格中放置一条对角线，也可以理解为枚举斜率。

如图，先来看这样一个问题，n=m=4，即此时有3行3列的方格的时候，可以放置斜率k=-1的直线有多少条。

首先我们把每个格子都标上号。如图，我最多只能放置5条k=-1的直线。

当我枚举在1*1的方格中放置对角线的时候（当然此时斜率k=-1），一共可以放置9条对角线。

然而事实上斜率k=-1的对角线只需要5条就可以了，多出来了4条。那么是哪里多出来了这4条呢？

我们注意看所有2*2的方格，他们多有的右下角的那条都是多余的。如图：

很显然，我们需要删掉1245中的5，2356中的6,4578中的8,5689中的9，此时留下来的123475条直线可以代表所有斜率为-1的直线。

同理，当n!=m的时候，结果也是一样的。

再来考虑斜率不是-1的情况（当然我这里只是举了斜率为负的例子，斜率为正的情况和斜率为负的情况必定都是一样的，最后在结果*2就可以了。）

其实道理还是一样的，如果gcd(x,y)=1，可以保证这样的斜率是第一次出现，则我们只需要把每x*y格看成是1格就行了。

如果gcd(x,y)=2，这样的斜率是第二次出现了，这就类似于上面所说的2*2的情况了，对于所有这样的矩形，他的右下角部分都是多余的。

贴一下我的代码：

#include<cstdio>
int gcd[310][310];
int Gcd(int a,int b)
{
    return b == 0 ? a : Gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    for(int i = 1;i <= 300;i++)
        for(int j = i;j <= 300;j++)
            gcd[i][j] = Gcd(i,j);
    int n,m;
    long long int ans;
    while(scanf("%d%d",&n,&m) == 2)
    {
        if(!n && !m)    break;
        n--;m--;
        if(n > m)   n ^= m,m ^= n,n ^= m;
        ans = 0;
        for(int x = 1;x <= n;x++)
        {
            for(int y = x;y <= m;y++)   if(gcd[x][y] <= 2)
            {
                if(x == y)
                {
                    int tmp = (n-x+1)*(m-y+1);
                    if(gcd[x][y] == 1)  ans += tmp;
                    else                ans -= tmp;
                }
                else
                {
                    int tmp = (n-x+1)*(m-y+1);
                    if(x <= m && y <= n)    tmp += (m-x+1)*(n-y+1);
                    if(gcd[x][y] == 1)      ans += tmp;
                    else                    ans -= tmp;
                }
            }
        }
        ans *= 2;
        printf("%lld\n",ans);
    }
}