神奇的差分法（内附树状数组的一点扩展）
差分法是我们所用的一个强力的武器！
有这把武器你就可以统治世界。。。
一个大佬曾经讲过，一但碰到区间修改的题，就要优先考虑差分。
普通差分法
我们有时做题，会发现这么一种题。
给你长度为n的序列，m次操作，有两种：1. 让[l,r]区间加上k。2. 查询一个点的值。
典型的区间修改，单点查询。
单点查询简单。
但是区间修改怎么做？
暴力卡常。。。
线段树。。。
比较正经的做法是差分，差分是什么？
对于一个序列a，定义另一个序列b，\(b[i]=a[i]-a[i-1]\)，则叫b数组为a数组的差分数组，这样有什么优势呢？
首先，如果要求a[i]，我们会发现就是\(b[i]+a[i-1]\)，不断拆开，\(a[i]=b[i]+b[i-1]+b[i-2]+b[i-3]+....+b[1]\)，是不是很棒棒，就是前缀和！
但是单点查询O(n)呀
先讲这样怎么修改，假设是\([l,r]\)区间加上k，那么我们就让\(b[l]\)加上\(k\)，让\(b[r+1]\)减去\(k\)就行了。这样，在\([l,r]\)区间内，每个数都会加上\(b[l]\)多出的\(k\)，但是在\(r\)之后，我们也会因为\(b[r+1]\)减去了\(k\)从而和\(b[l]\)的\(k\)抵消。
这样，区间修改就完成了！
但是单点查询又复杂了，它可以表达成前缀和，前缀和......树状数组维护就可以了！
是不是很不错！
这里给大家一点扩展！
至于树状数组区间查询，区间修改，我粘上一个大佬的话，我认为很不错！
我们还是需要引入delta数组，这里的delta[i]表示区间a[i...j]都需要加上的值的和。那么当我们需要将区间[l,r]上的每个数都加上x时，我们还是可以直接在树状数组上将delta[l]加上x，delta[r+1]减去x。
那么问题来了，如何查询区间[l,r]的和？
我们设a[1...i]的和为sum[i]，根据delta数组的定义，则：
这样我们就不难看sum[i]是由哪三个部分组成的了。我们需要用一个asum数组维护a数组的前缀和，delta1与delta2两个树状数组，delta1维护delta数组的和，delta2维护delta[i]*i的和，代码如下：
void add(int *arr int pos,int x){
while(pos<=n) arr[pos]+=x,pos+=lowbit(pos);
}
void modify(int l,int r,int x){
add(d1,l,x),add(d1,r+1,-x),add(d2,l,x*l),add(d2,r+1,-x*(r+1));
}
int getsum(int *arr,int pos){
int sum=0;
while(pos) sum+=arr[pos],pos-=lowbit(pos);
return sum;
}
int query(int l,int r){
return asum[r]+r*getsum(d1,r)-getsum(d2,r)-(asum[l-1]+l*getsum(d1,l-1)-getsum(d2,l-1));
}
咳咳，回归正题，总结一下
普通差分就是这个数减去前一个数所得到的一个数组，他不是个算法，只是种技巧，比如在树状数组中的妙用，让树状数组具有区间查询，单点修改的功能。
差分套差分（二阶差分）
没错你没有听错，差分都可以套了！
好像又叫二阶差分。
怎么套？将差分数组再差分一遍，求到了差分套差分的数组，定位c数组。
那么，推一推，发现\(a[i]=c[i]*1+c[i-1]*2+...+c[1]*(i-1)\)
嗯，这个有什么用呢？
如果有一个毒瘤出题人，出了一道题（就是我被坑了，就写出来了）：
给你一个长度为n的序列a，有m次操作，每次操作让区间[l,r]分别加上t,t*2,t*3,...,t*(r-l+1)
最后输出a序列的每个数的值
把1操作中加上的数差分，就为\(t,t,t,t,t,...,t\)（注意：以后求高阶差分的修改公式，将加上的数组也进行差分来推是最好的！），那么，就等于给a的差分数组b区间加上t，那么就将b再差分出另一个差分数组c来更改，最后O(n)输出一下答案就好了。
当然，相比差分，差分套差分会有更多应用，欢迎大家探究！
高阶差分
\(n(n>1)\)阶等差数列就是两项之差的序列是\(n-1\)阶等差数列的序列。
当然，要处理这个的话一般是用FFT来搞。
想学习这个请食用FFT或者其他类似算法。
树上等差数列
基本概念：
- 树上两点之间只有一条最短路径
- 树上两点只有一个最近公共祖先
1. 点差分
点差分求什么？
给你一棵树，并给你一些在树上的路径，让你求每个点在树上被经过的次数。
如整篇博客没一张图。。。：
图中红色绿色蓝色代表三条路径，点旁边的标记代表他被经过的次数。
如何求？
暴力！
。。。
DFS暴力的话，肯定过不了呀！如果你送毒瘤出题人足够刀片说不定可以。。。
这时候，就有人跳出来发明了个算法，叫树上差分：
设路径的开头与结尾为\(st\)与\(ed\)，设\(k=lca(st,ed)\)，\(father_{k}\)为\(k\)的\(father\)
那么我们把\(f[st]++,f[ed]++,f[k]--,f[father_{k}]--\)，有什么用？
我们跑用DFS遍历一遍一棵树，设\(tot_{i}\)为\(i\)的子树的所有节点的\(f\)和，如图：在\(st->ed\)这条路径中，除了\(ed\)外，\(tot\)值都是\(1\)，又因为\(k\)点的\(f\)值为\(-1\)，所以将一个1消掉了，所以\(k\)的tot值也为1.
某银：那\(k\)的父亲呢？
因为我们让\(father_{k}\)的\(f值也减了1\)，所以他和\(k\)的1抵消了，所以并没有影响。
所以我们只需要\(O(1)\)将所有路径处理完，\(O(n)\)遍历处理答案就好了！
2. 边差分
跟点差分差不多。
给你一棵树，并给你一些在树上的路径，让你求每条边在树上被经过的次数。
首先，我们应当考虑把边压到点里面，那么我们就让每个点到父亲的那条边压到这个点身上，然后求每个点被经过的次数就行了，点差分一下，有什么难？
恭喜你WA了。
难道你就没有发现只算一条路径的话，\(k\)到父亲这条边没有被经过，但是在点差分过程中\(tot_{k}=1\)吗？所以，我们应当改一下修改\(f\)值的过程。
\(f[st]++,f[ed]++,f[k]-=2\)
那么在\(k\)点的时候，就把\(st、ed\)的影响消掉了，是不是很舒服？
最后DFS一遍，别忘了每个点代表的是他到父亲的边！
那么不就解决了？
至此，基础的差分结束了。
终于写完了，ヾ(≧▽≦*)o，<(￣ˇ￣)/，～(￣▽￣～)(～￣▽￣)～,(:逃
欢迎大家D我，让我能更好的完善博客！
