1 namespace EuclidAlgorithms
 2 {
 3     public class Euclid
 4     {
 5         public static int Gcd(int p, int q)
 6         {
 7             if (q == 0)
 8             {
 9                 return p;
10             }
11             int r = p % q;
12             return Gcd(q, r);
13         }
14     }
15 }

上面代码为欧几里德算法，求q,p最大公约数。

以下为证明过程：

欧几里德的算法关键在于证明等式gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)的正确性。
定理：a，b为正整数，则gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) 
证明：
k,r为整数，设r = a mod b,则a可以表示成a=kb+r。
假设d是{a,b}的一个公约数，则d整除a,d整除b，而r=a-kb，因此d整除r，d也是b和r的公约数。 
假设d是{b,r}的一个公约数，则d整除b,d整除r，而a=kb+r，因此d整除a, d也是a和b的公约数。
因此{a,b}和{b,r}的公因子集合是一样的。特别地，{a,b}的最大共因子和{b,r}的最大公因子是一样的，即gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。