[算法]树上倍增求LCA

  LCA指的是最近公共祖先(Least Common Ancestors),如下图所示:

  4和5的LCA就是2

  那怎么求呢?最粗暴的方法就是先dfs一次,处理出每个点的深度

  然后把深度更深的那一个点(4)一个点地一个点地往上跳,直到到某个点(3)和另外那个点(5)的深度一样

然后两个点一起一个点地一个点地往上跳,直到到某个点(就是最近公共祖先)两个点“变”成了一个点

  不过有没有发现一个点地一个点地跳很浪费时间?

如果一下子跳到目标点内存又可能不支持,相对来说倍增的性价比算是很高的

  倍增的话就是一次跳2i 个点,不难发现深度差为x时,深度更深的那个点就需要跳x个点

于是可以写出这段代码

1 if(depth[a] < depth[b])    swap(a, b);
2 int c = depth[a] - depth[b];
3 for(int i = 0; i <= 14; i++){
4     if(c & (1 << i)){
5         a = up[a][i];
6     }
7 }

  接下来很快就会发现一个很严重的问题:两个点按照这样跳,不能保证一定是最近的

所以倍增找lca的方法是这样的:

  从最大可以跳的步数开始跳(一定是2i),如果跳的到的位置一样,就不跳,如果不一样才跳,每次跳的路程是前一次的一半

  过程大概就像上图所示,但是执行完了这一段到的点不是最近公共祖先,但是,它们再往上跳一格,就到了

把这一段写成代码,就成了这样:

1 for(int i = 14; i >= 0; i--){
2     if(up[a][i] != up[b][i]){
3         a = up[a][i];
4         b = up[b][i];
5     }
6 }

  前面还需要加上一句特判(当a和b在同一边时,深度浅的那个点就是最近公共祖先)

if(a == b)    return a;

  好了,会求lca了,关键是怎么构造倍增数组。

没有疑问的是向上跳一格就是自己的父节点

f[i][0] = fa[i];

  这个是初值,接着可以根据这个推出来其他的,除此之外还要附上初值0,不然有可能会RE

f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1];

  就是把这一段路,分成两段已经知道的

  完整代码就是这样的:

 1 Matrix<int> up;
 2 inline void init_bz(){
 3     up = Matrix<int>(16, n + 1);
 4     memset(up.p, 0, sizeof(int) * 16 * (n + 1));
 5     for(int i = 1; i <= n; i++){
 6         up[i][0] = fa[i];
 7     }
 8     for(int j = 1; j <= 14; j++){
 9         for(int i = 1; i <= n; i++){
10             up[i][j] = up[up[i][j - 1]][j - 1];
11         }
12     }
13 }

  注意倍增求LCA适用于询问多的情况,不然光在预处理上花的时间就已经够多了(如果只有一两个询问,直接暴力就好了)

 

  当然,这个倍增算法判断条件是若干级祖先是否相等。

  同样,点$u$,$v$的LCA还满足它是其中一个点的最近的一个祖先,满足$u$,$v$都在它的子树中。

  判断一个点是否在另一个点的子树中,我们可以用dfs序来判断。

  这是倍增的另一种判断方法:

 1 void dfs(int p, int fa) {
 2     bz[p][0] = fa, in[p] = ++cnt;
 3     for (int i = 1; i < bzmax; i++)
 4         bz[p][i] = bz[bz[p][i - 1]][i - 1];
 5     for (int i = g.h[p]; ~i; i = g[i].nx) {
 6         int e = g[i].ed;
 7         if (e == fa)    continue;
 8         dfs(e, p);
 9     }
10     out[p] = cnt;
11 }
12 
13 int lca(int a, int b) {
14     if (dep[a] > dep[b])    swap(a, b);
15     if (in[a] <= in[b] && out[a] >= out[b])
16         return a;
17     for (int i = bzmax - 1, nx; ~i; i--) {
18         nx = bz[a][i];
19         if (!(in[nx] <= in[b] && out[nx] >= out[b]))
20             a = nx;
21     }
22     return bz[a][0];
23 }
24 

 

posted @ 2016-10-18 11:41  阿波罗2003  阅读(12532)  评论(0编辑  收藏  举报