杜教筛学习笔记
QwQ一个不会莫比乌斯反演的蒟蒻来写杜教筛的博客了
这个是杜教筛的一般形式
中间那个先枚举几倍，实际上相当于把令\(i=k*d\) 然后进行k和d枚举
这么空说怎么好理解
我们来引入两道例题吧
\(51nod\) 莫比乌斯函数之和
求$$\sum_{i=1}^{n}\mu(i)$$
一看这个题，貌似没什么头绪呀。
我们可以现推一下
因为\(\mu * 1 = e\)（或者写成\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]\)
所以$$\mu(n)=e(n)-\sum_{d|n,d!=n}\mu(d)$$
那么$$ans=\sum_{i=1}^{n}(e(i)-\sum_{d|i,d!=i}\mu(i))$$
因为\(\sum_{i=1}^{n} e(i)=1\)
所以$$ans=1-\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i,d!=i}\mu(i)$$
我们令\(i=k*d\)，然后分别枚举k和d
这里k从2开始枚举的原因是因为\(d!=i\)
到这里我们能发现对于\(\frac{n}{k}\)可以整除分块 且\(\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor}\mu(i)\)这个式子实际上是一个子问题，可以通过递归求值，只需要记忆化一下，就可以解决了
那么到这里，我们杜教筛的大致思路也就出来了
1.将一些小数的ans值筛出来，然后记忆化
2.对于一个数\(x\)，我们可以进行分块，然后递归求解
直接上代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<unordered_map>
using namespace std;
inline long long read()
{
long long x=0,f=1;char ch=getchar();
while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn = 4700000;
int prime[maxn],check[maxn];
int mu[maxn];
int tot;
unordered_map<long long,int> mp;
void init(int n)
{
mu[1]=1;
check[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (!check[i])
{
prime[++tot]=i;
mu[i]=-1;
}
for (int j=1;j<=tot;j++)
{
if (i*prime[j]>n) break;
check[i*prime[j]]=1;
if (i%prime[j]==0) break;
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
for (int i=2;i<=n;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
long long l,r;
long long dfs(long long x)
{
if (x<=maxn) return mu[x];
if (mp[x]) return mp[x];
long long ans=1;
for (long long i=2,j=0;i<=x;i=j+1)
{
j=x/(x/i);
ans=ans-dfs(x/i)*(j-i+1);
}
mp[x]=ans;
return ans;
}
int main()
{
init(maxn);
l=read(),r=read();
cout<<dfs(r)-dfs(l-1);
return 0;
}
第二个问题是\(51nod\) 欧拉函数之和
其实这两个问题是差不多的
针对这个问题，我们要求的是$$\sum_{i=1}^{n}\phi(i)$$
还是同样
因为\(id=1*\phi\) (或者写成\(\sum_{d|n}\phi(d)=n\)）
那么$$\phi(n)=id-\sum_{d|n,d!=n}\phi(d)$$
那我们要求的$$ans=\sum_{i=1}^{n}(id-\sum_{d|n,d!=n}\phi(d))$$
设\(i=k*d\)
然后就可以和上一道题一样的思路，直接做就好
上代码（注意取膜的时候的一些注意事项）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#define ll long long
#include<unordered_map>
using namespace std;
inline ll read()
{
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn = 6e6+1e2;
const ll mod = 1e9+7;
ll phi[maxn];
ll prime[maxn];
int check[maxn];
ll l,r;
int tot;
ll qsm(ll i,ll j)
{
ll ans=1;
while (j)
{
if (j&1) ans=ans*i%mod;
i=i*i%mod;
j>>=1;
}
return ans;
}
ll inv = qsm(2,mod-2);
unordered_map<long long,long long> mp,mp1;
void init(ll n)
{
phi[1]=1;
check[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (!check[i])
{
prime[++tot]=i;
phi[i]=i-1;
}
for (int j=1;j<=tot;j++)
{
if (i*prime[j]>n) break;
check[i*prime[j]]=1;
if (i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]%mod;
break;
}
else
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1)%mod;
}
}
}
for (int i=2;i<=n;i++) phi[i]=(phi[i]+phi[i-1])%mod;
}
ll dfs(ll x)
{
if (x<=maxn) return phi[x]%mod;
if (mp1[x]) return mp[x]%mod;
long long ans=x%mod*(x%mod+1)%mod*inv%mod;
for (ll i=2,j=0;i<=x;i=j+1)
{
j=x/(x/i);
ans=(ans-(j-i+1)%mod*dfs(x/i)%mod+mod)%mod;
}
ans=(ans%mod+mod)%mod;
mp[x]=ans;
mp1[x]=1;
return ans;
}
int main()
{
init(maxn-10);
l=read();
cout<<dfs(l)%mod;
return 0;
}
