流形上的微积分 习题 1.18

如$A\subset [0,1]$是这样一些开区间$(a_i,b_i)$的并集，使得$(0,1)$中的每一有理数包含在某个$(a_i,b_i)$内，求证$A$的边界=$[0,1]-A$.

 

证明：$[0,1]-A$中的点只能是$A$的边界点或外点.下证不可能是$A$的外点.



如果是$A$的外点，则这个点的邻域小到一定程度后，与$A$不相交，然而我们知道无论这个点的邻域多么小，总包含有理数，所以总与$A$相交，矛盾.所以$[0,1]-A$的点必是$A$的边界点.




下证$A$的边界点必不属于$A$.只要证明如果$A$的某个边界点属于$A$,那么这个边界点也会是$A$的内点，从而会导出矛盾.



假如$A$的边界点属于$A$,则边界点必被一个含于$A$的开区间覆盖.则边界点成了$A$的内点.矛盾.所以$A$的边界点必不属于$A$,而且$A$的边界点必属于$[0,1]$,即属于$R-A$.