最大流——Dinic算法

1、Dinic算法思路

Dinic算法的思想也是分阶段地在层次网络中增广。它与最短增广路算法不同之处是：最短增广路每个阶段执行完一次BFS增广后，要重新启动BFS从源点Vs开始寻找另一条增广路;而在Dinic算法中，只需一次DFS过程就可以实现多次增广，这是Dinic算法的巧妙之处。Dinic算法具体步骤如下:

（1）初始化容量网络和网络流。

（2）构造残留网络和层次网络，若汇点不再层次网络中，则算法结束。

（3）在层次网络中用一次DFS过程进行增广，DFS执行完毕，该阶段的增广也执行完毕。

（4）转步骤（2）。

在Dinic的算法步骤中，只有第（3）步与最短增广路相同。在下面实例中，将会发现DFS过程将会使算法的效率有非常大的提高。

Dinic算法复杂度分析

与最短增广路算法一样，Dinic算法最多被分为n个阶段，每个阶段包括建层次网络和寻找增广路两部分，其中建立层次网络的复杂度仍是O（n*m)。

现在来分析DFS过程的总复杂度。在每一阶段，将DFS分成两部分分析。

（1）修改增广路的流量并后退的花费。在每一阶段，最多增广m次，每次修改流量的费用为O（n）。而一次增广后在增广路中后退的费用也为O(n)。所以在每一阶段中，修改增广路以及后退的复杂度为O(m*n)。

（2）DFS遍历时的前进与后退。在DFS遍历时，如果当前路径的最后一个顶点能够继续扩展，则一定是沿着第i层的顶点指向第i+1层顶点的边向汇点前进了一步。因为增广路经长度最长为n，所以最坏的情况下前进n步就会遇到汇点。在前进的过程中，可能会遇到没有边能够沿着继续前进的情况，这时将路径中的最后一个点在层次图中删除。

注意到每后退一次必定会删除一个顶点，所以后退的次数最多为n次。在每一阶段中，后退的复杂度为O（n）。

假设在最坏的情况下，所有的点最后均被退了回来，一共共后退了n次，这也就意味着，有n次的前进被“无情”地退了回来，这n次前进操作都没有起到“寻找增广路”的作用。除去这n次前进和n次后退，其余的前进都对最后找到增广路做了贡献。增广路最多找到m次。每次最多前进n个点。所以所有前进操作最多为n+m*n次，复杂度为O（n*m）。

于是得到，在每一阶段中，DFS遍历时前进与后退的花费为O（m*n）。

综合以上两点，一次DFS的复杂度为O（n*m）。因此，Dinic算法的总复杂度即O（m*n*n）。

下面的实现，有借鉴别人的方法。主要是利用BFS构建层次网络，这里用level数组来存储每个顶点的层数。

然后利用dfs进行增广，默认M个节点，第M个节点就是汇点。然后当第M个节点不在分层网络时，就结束。

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;

const int INF = 0x7fffffff;
int V, E;
int level[205];
int Si, Ei, Ci;

struct Dinic
{
    int c;
    int f;
}edge[205][205];

bool dinic_bfs()      //bfs方法构造层次网络
{
    queue<int> q;
    memset(level, 0, sizeof(level));
    q.push(1);
    level[1] = 1;
    int u, v;
    while (!q.empty()) {
        u = q.front();
        q.pop();
        for (v = 1; v <= E; v++) {
            if (!level[v] && edge[u][v].c>edge[u][v].f) {
                level[v] = level[u] + 1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return level[E] != 0;                //question: so it must let the sink node is the Mth?/the way of yj is give the sink node's id
}

int dinic_dfs(int u, int cp) {           //use dfs to augment the flow
    int tmp = cp;
    int v, t;
    if (u == E)
        return cp;
    for (v = 1; v <= E&&tmp; v++) {
        if (level[u] + 1 == level[v]) {
            if (edge[u][v].c>edge[u][v].f) {
                t = dinic_dfs(v, min(tmp, edge[u][v].c - edge[u][v].f));
                edge[u][v].f += t;
                edge[v][u].f -= t;
                tmp -= t;
            }
        }
    }
    return cp - tmp;
}
int dinic() {
    int sum=0, tf=0;
    while (dinic_bfs()) {
        while (tf = dinic_dfs(1, INF))
            sum += tf;
    }
    return sum;
}

int main() {
    while (scanf("%d%d", &V, &E)) {
        memset(edge, 0, sizeof(edge));
        while (V--) {
            scanf("%d%d%d", &Si, &Ei, &Ci);
            edge[Si][Ei].c += Ci;
        }
        int ans = dinic();
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}