设$f$是$\mathbb R$上的周期为$1$的且$C^1$的函数.如果$f$满足条件$$f(x)+f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f(2x),x\in\mathbb R$$
证明$f(x)\equiv0$.
证明 设$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos 2n\pi x+b_{n}\sin 2n\pi x)$$
(因为$f$可导,所以上面的式子确实取等号)这样可以得到\begin{align*}f(x)+f\left(x+\frac{1}{2}\right)&=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos2n\pi x+a_{n}\cos(2n\pi x+n\pi)+b_{n}\sin2n\pi x+b_{n}\sin(2n\pi x+n\pi)\right)\\&=a_{0}+2\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2n}\cos4n\pi x+b_{2n}\sin 4n\pi x\right)\tag{1}\end{align*}
而\begin{align*}f(2x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos4n\pi x+b_{n}\sin 4n\pi x\right)\tag{2}\end{align*}
根据Fourier级数的唯一性(或者用Parseval等式)可以知道(1),(2)的系数一样可以知道$a_{0}=0$且$$a_{n}=2a_{2n},b_{n}=2b_{2n}$$
所以$$a_{n}=2^2a_{2^2n}=\cdots=2^ka_{2^kn}\to0(k\to+\infty)\tag{3}$$
上式成立是由于当$f$可导且导函数可积或者绝对可积的时候一定有Fourier系数$$a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right),b_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)$$
(这个结论只需分部积分一次再利用Riemann-Lebesgue引理即可证明)类似可得$b_{n}=0$.因此$$f(x)\equiv0.$$
证明过程可以看出题目中$C^1$的条件过强了，只需$f'$可积或者绝对可积即可.
