行列式(一):基本定义性质及高斯消元求解行列式

行列式

\[D = \left| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right|\]

上图是一个三阶行列式,行列式是形如上图的一个东西,简记为: \(det(a_{ij})\), 其中\(a_{ij}\)是行列式的第\(ij\)元。
一个n阶行列式的值为:

\[\sum (-1)^t a_{1 p_1} a_{2p_2} ... a_{np_n} \]

其中\(t\)\(1\)\(n\)的排列\(p_1, p_2, p_3...,p_n\)的逆序对个数。

特殊行列式

三角形行列式

满足如下等式:

\[D = \left| \begin{array}{c} a_{11} &. &. & ... \\ a_{21} & a_{22} &. & ... \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & ...\\ . & . & . & .\\ . & . & . & .\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array} \right| = a_{11}a_{22}...a_{nn}\]

对角行列式

满足如下等式:

\[D = \left| \begin{array}{c} \lambda_1 & & & &\\ & \lambda_2 & & &\\ & & . & & \\ & & & . & \\ & & & & \lambda_n \end{array} \right| = \lambda_1 \lambda_2 ... \lambda_n\]

相当于特殊的三角形行列式

性质

前置知识

转置行列式:
将行列式\(D = det(a_{ij})\)沿从左到右的对角线镜像翻转,得到一个新的行列式,称这个新的行列式为它的转置行列式。即原来的\(a_{ij}\)会与\(a_{ji}\)交换位置。

性质一

行列式与它的转置行列式相等

性质二

交换行列式的两行(列),行列式变号
推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零

性质三

行列式的某一行(列)中所有元素都乘同一数\(k\),等于用数\(k\)乘行列式
推论:行列式中某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式记号外面

性质四

行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零。

性质五

若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如第\(i\)行的元素都是两数之和:

\[D = \left| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ . & . & & .\\ . & . & & .\\ a_{i1} + a'_{i1} & a_{i2} + a'_{i2} & ... & a_{in} + a'_{in}\\ . & . & & .\\ . & . & & .\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array} \right|\]

\(D\)等于下列两个行列式之和:

\[D = \left| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ . & . & & .\\ . & . & & .\\ a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in}\\ . & . & & .\\ . & . & & .\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array} \right| + \left| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ . & . & & .\\ . & . & & .\\ a'_{i1} & a'_{i2} & ... & a'_{in}\\ . & . & & .\\ . & . & & .\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{array} \right| \]

性质六

把行列式的某一行(列)的各元素同乘同一个数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变。

高斯消元求解

由性质六和对角线行列式的计算方式可得,如果我们把行列式当做一个\(n\)元一次方程组,然后解出对角矩阵,再将对角线上的元素相乘,即可得到行列式的值。

posted @ 2019-01-18 20:49  ww3113306  阅读(764)  评论(0编辑  收藏  举报
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