分治算法（二）

例5、取余运算(mod)

源程序名              mod.???（pas, c, cpp）

可执行文件名      mod.exe

输入文件名          mod.in

输出文件名          mod.out

【问题描述】

输入b，p，k的值，求b^p mod k的值。其中b，p，k*k为长整型数。

【样例】

mod.in

2 10 9

mod.out

2^10 mod 9=7

【知识准备】

进制转换的思想、二分法。

【算法分析】

     本题主要的难点在于数据规模很大(b, p都是长整型数)，对于b^p显然不能死算，那样的话时间复杂度和编程复杂度都很大。

     下面先介绍一个原理：a*b mod k＝(a mod k)*(b mod k)mod k。显然有了这个原理，就可以把较大的幂分解成较小的，因而免去高精度计算等复杂过程。

   那么怎样分解最有效呢?显然对于任何一个自然数P，有p＝2*(p div 2)+p mod 2，如19＝2*(19 div 2)+19 mod 2＝2*9+1，利用上述原理就可以把b的19次方除以k的余数转换为求b的9次方除以k的余数，即b¹⁹=b^2*9+1＝b*b⁹*b⁹，再进一步分解下去就不难求得整个问题的解。

     这是一个典型的分治问题，具体实现的时候是用递推的方法来处理的，

如p=19，有

19=2*9+1                            b¹⁹=b¹*b⁹*b⁹

9=2*4+1                             b⁹=b¹*b⁴*b⁴

4=2*2+0                             b⁴=b⁰*b²*b²

2=2*1+0                             b²=b⁰*b¹*b¹

1＝2*0+1                            b¹=b¹*b⁰*b⁰

反过来，我们可以从0出发，通过乘以2再加上一个0或1而推出1，2，4，9，19，这样就逐步得到了原来的指数，

进而递推出以b为底，依次以这些数为指数的自然数除以k的余数。

不难看出这里（倒推）每一次乘以2后要加的数就是19对应的二进制数的各位数字，即1，0，0，1，1，而19＝(10011)2，求解的过程也就是将二进制数还原为十进制数的过程。

    具体实现请看下面的程序，程序中用数组binary存放p对应的二进制数，总位数为len，binary[1]存放最底位。变量rest记录每一步求得的余数。

var b,p,k,i,len,rest,temp:longint;
     binary:array[1..32] of longint;
begin
  assign(input,'mod.in');
  assign(output,'mod.out');
  reset(input);
  rewrite(output);
  readln(b,p,k);   {输入三个数}
  len:=0;
  temp:=p;
  while temp<>0 do    {存放p的二进制转换}
    begin
      len:=len+1;
      binary[len]:=temp mod 2;  //也可以写成binary[len]:=temp and 1;
      temp:=temp div 2        //也可以写成temp:=temp shr 1;
    end;
  rest:=1;
  for i:=len downto 1 do    {用二分法实现b^p mod k}
    begin
      temp:=rest*rest mod k;
      if binary[i]=1 then rest:=b mod k * temp mod k    {如果是奇数，就多乘b}        //rest:=(b mod k * temp) mod k 
                     else rest:=temp     {否则就是rest*rest}
    end;
  writeln(b,'^',p,' mod ',k,' = ',rest);   {输出b^p mod k}
  close(input);
  close(output)
end.

 

例6 黑白棋子的移动(chessman)

源程序名                chessman.???（pas, c, cpp）

可执行文件名        chessman.exe

输入文件名            chessman.in

输出文件名            chessman.out

const max=100;
var n,st,sp:integer;
    c:array[1..max] of char;  {工作场所}

procedure print;  {打印}
  var i:integer;
  begin
    write('step',st:2,':');
    for i:=1 to 2*n+2 do write(c[i]);
    writeln;
    st:=st+1
  end;

procedure init(n:integer);  {初始化}
  var i:integer;
  begin
    st:=0;
    sp:=2*n+1;
    for i:=1 to n do c[i]:='o';
    for i:=n+1 to 2*n do c[i]:='*';
    c[2*n+1]:='-';c[2*n+2]:='-';  
    print
  end;

procedure move(k:integer);  {移动一步}//将两个横线（空）移到k处（以左横线位置为序号）
  var j:integer;
  begin
    for j:=0 to 1 do begin c[sp+j]:=c[k+j];c[k+j]:='-';end;
    sp:=k;
    print
  end;

procedure mv(n:integer);    {主要过程}
  var i,k:integer;
  begin
    if n=4 then begin
                  move(4);
                  move(8);
                  move(2);
                  move(7);
                  move(1)
                end
           else begin
                  move(n);
                  move(2*n-1);
                  mv(n-1)
                end
  end;

begin  {main}
  assign(input,'chessman.in');
  assign(output,'chessman.out');
  reset(input);
  rewrite(output);
  readln(n);
  init(n);
  mv(n);
  close(input);
  close(output)
end.

例7、小车问题（car）

【问题描述】 

甲、乙两人同时从A地出发要尽快同时赶到 B地。出发时A 地有一辆小车，可是这辆小车除了驾驶员外只能带一人。已知甲、乙两人的步行速度一样，且小于车的速度。问：怎样利用小车才能使两人尽快同时到达。 

【问题输入】 

仅一行，三个数据分别表示 AB两地的距离s，人的步行速度a，车的速度 b。 

【问题输出】 

两人同时到达B地需要的最短时间。

【输入输出样例】 

car.in 

120  5  25 

car.out 

9.6000000000E+00

自己推了一下确实是这样的。数学太弱了。。。

var
  s,a,b,k,x,t:real;
begin
assign(input,'car.in');
reset(input);
assign(output,'car.out');
rewrite(output);
  readln(s,a,b);
   k:=s*(a+b)/(3*a+b);
   t:=k/b+(s-k)/a;
  writeln(t:0:2);
close(input);close(output);
end.

program car1(input,output); 
const zero=1e-4; 
var s,a,b,c,c0,c1,t1,t2,t3,t4:real; 
BEGIN 
assign(input,’car.in’); 
assign(output,’car.out’); 
reset(input); 
rewrite(output); 
  readln(s,a,b); 
  c0:=0; 
  c1:=s; 
  repeat 
    c:=(c0+c1)/2; 
    t3:=c/b;  //甲到K乘汽车用时；也是乙走到C用时。即 乙TAC=甲TAK
    t1:=t3+(s-c)/a;  //甲到终点用时。即 甲TAB
    t4:=(c-t3*a)/(a+b);  //乙从C走，车从K来接乙相遇用时。即 乙TCD
    t2:=t3+t4+(s-(t3+t4)*a)/b;   //乙到终点用时。即 乙TAB
    if t1<t2 then c1:=c else c0:=c;   //甲的时间短，走得快，则让汽车少载一段甲；乙的时间短，走得快，则让汽车多载一段甲
  until abs(t1-t2)<zero; 
  writeln(t1); 
  close(input); 
close(output) 
end.

【深入思考】 

现在把上述问题稍改一下，已知 A、B两地相距 S=100公里，在A 地有 n人，现有一辆汽车，此汽车除司机外只能载 1 人，已知汽车的速度为 V1=50 公里/小时，人的速度为 V2=5公里/小时。要求设计一种方案，使得最后一个人用最少的时间到达B。

 

例8 麦森数（mason）

源程序名              mason.???（pas, c, cpp）

可执行文件名      mason.exe

输入文件名          mason.in

输出文件名          mason.out

【问题描述】

    形如2^p-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2^p-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。

    任务：从文件中输入P(1000<P<3100000)，计算2^p-1的位数和最后500位数字(用十进制高精度数表示)。

【输入】

文件中只包含一个整数P(1000<P<3100000)。

【输出】

第一行：十进制高精度数2^p-1的位数；

第2~11行：十进制高精度数2^p-1的最后500位数字(每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0)；

    不必验证2^p-1与P是否为素数。

【样例】

mason.in

1279

mason.out

386

00000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000104079321946643990819252403273640855

38615262247266704805319112350403608059673360298012

23944173232418484242161395428100779138356624832346

49081399066056773207629241295093892203457731833496

61583550472959420547689811211693677147548478866962

50138443826029173234888531116082853841658502825560

46662248318909188018470682222031405210266984354887

32958028878050869736186900714720710555703168729087