tongj1981

    感觉有时候搞科研就像顺藤摸瓜一样，学着学着，就又看到了另一快开阔的天地。从本科时学基础数学，到硕士时跟着老板学计算机；从开始学二维数字图像，到后来学三维图形；做测地线时感觉到对于曲面的理论了解太匮乏，就开始重新看微分几何；就看到了流形的概念，接着前几天看了流形学习的几篇文章。
    流形，感觉就是为了扩展线形的欧式空间，对于非线性的曲面，人们想到可以把这些复杂的曲面分成小块，局部可建立到欧式空间的同胚映射，可坐标化，而整体是可以拓扑同胚变换的。在流形上，人们还可以定义微分，这样就可以把原来只适用于欧式空间的很多方法移植到一般的流形上，如球面，圆柱侧面，及经过任意弹性变换后生成的曲面。比如NURBS的参数是定义在平面方块上，而要用NURBS进行复杂曲面的造型，就会遇到拼接这个麻烦的问题。王青就提出直接在一个复杂的流行空间上建立参数曲面，这样就会方便许多（《流行上参数曲面的理论和方法》）。
    后来在google上搜索manifold，不知怎么的就找到了流形学习（manifold learing）的几篇文章，主要是讲如何从非线性的高维观测数据空间中提取出一个低维的嵌入流形。和主成分分析等线性方法相比，可以更好地处理非线性的问题。而且人们推断，大脑记忆认知的模式就是基于流行的模式（The Manifold Ways of Perception）。看了Isomap方法的一篇文章（发表在Science上的牛文，三个作者分别是搞心理学，数学，计算机），和我前一段时间做的测地线的工作也联系起来了，可以去找搞数据挖掘的老师一块做做。

    好久没更新日志了，都一个月了。这一个月又看了好多关于三维几何模型处理的文献，现在写一点自己的感触，可能表达的不是很清楚，就是点感觉吧。
    首先，有些感觉是很简单的问题，你必须在更高层次的基础上才能很好地解决它。比如说，哥德巴赫猜想在初等数学的范筹内就可以很好地描述和理解，但是想要能真正证明它，真正理解它，则绝不能只在初等数学领域，而必须在更抽象的领域内完成。再比如前段时间我做的测地线工作，假设要求二维平面网格上两点间的最短路径，如果是二维平面上的一个小虫子，则只能一点一点去用Dijkstra这样的贪心算法去试，而三维空间中的观察者则一下子就能看出来。
    另外，感觉自己对三维曲面（三角网格模型）的理解就像打怪练级一样，现在正在练第三级。
    第一级，要建立对三角网格的数据结构，点边面操作的基本概念，如可以看看一些早期的边折叠简化，网格优化的文章，把这些经典算法编程实现。这一级不需要什么深奥的数学知识，只需要了解三角网格操作的数据结构，一些简单的优化算法，理解迭代算法的思想。
    第二级，要建立对于曲面局部不变性的概念，并要设法离散化。这就涉及到微分几何了，如曲率，测地线，第一第二基本型，参数化，网格重采样的概念等等。我看的中文教材就是梅向明的那本，比较好懂。还有就是要把连续微分算子离散化，就是Discrete Differential Geometry，这个最近好多人都在做，没有教材，大家可以看看Meyer的文章。
    第三级，差不多可以有两个方向吧，一是将线形的欧式空间拓展到非线性的流形，二是将曲面的局部不变性质拓展到曲面的全局属性。这一级我也正在练，所以可能说的不好。首先欧式空间是线性的，但实际一些空间却不是，如球面。人们就想到可以把这些复杂的曲面分成小块，局部可坐标化，而整体是可以拓扑同胚变换的，这就是流形的概念。这个可以找拓扑的书看看，简单地可以看一下王青的博士论文。另外也有用曲面的整体性质来研究曲面性质的，这就涉及到整体微分几何等概念了。这个我还没怎么看，有篇siggraph2004的文章利用Morse方程来研究的，有大牛看完了给俺讲讲:)

• 搜Siggraph，搜到了你的博客；有一篇列出tim的总结，非常感谢；
  
  俺是本科毕业生，一直想做这方面研究，呵呵，看了你的文章很有感触，老师加油~~:)
  ---- 马甲的马甲 (Email) 评论于 2007-07-17 19:09:19