cogs 2691. Sumdiv

2691. Sumdiv

★★★   输入文件：sumdiv.in   输出文件：sumdiv.out   简单对比
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【题目描述】

考虑两个自然数A和B.定义S是A ^ B的所有自然因数的总和。确定S模9901的值。

【输入格式】

唯一的行包含由空格分隔的两个自然数A和B（0 <= A，B <= 50000000）。

【输出格式】

输出一行，即S模9901。

【样例输入】

2 3

【样例输出】

15

样例解释：2 ^ 3 = 8。 8的自然因数是：1,2,4,8。他们的和是15。 15模9901是15（应该输出）。

【来源】

POJ1845

/*
题意:求A^B 所有约数(因子)之和mod 9901。

应用质因数分解+约数和公式+逆元+等比数列求和公式
A=p1^k1*p2^k2*...pn^kn
A^B=p1^(k1*B)*p2^(k2*B)...pn^(kn*B)
约数和公式:Sum=(1+p1+p1^2+...+p1^k1)*(1+p2+p2^2+...+p2^k2)*(......pk^kn)
Sum(A^B)=(1+p1+p1^2+...+p1^k1*B)*(1+p2+p2^2+...+p2^k2*B)*(......pk^kn*B) mod 9901
对于每一个 (1+p1+p1^2+...+p1^k1*B),根据等比数列求和公式为 [1-p1^(1+k1*B)]/(1-p1) mod 9901
根据逆元公式:a/b mod m=(a mod mb )/b 
原式= [p1^(k1*B+1)-1] mod [9901*(p1-1)] / (p1-1)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll long long
#define mod 9901
#define N 10005
int p[N],cnt;
ll A,B;
bool prime[N];
void Isprime(){
    for(int i=2;i<N;i++)
        if(!prime[i]){
            p[++cnt]=i;
            for(int j=i+i;j<N;j+=i)
                prime[j]=1;
        }
}
ll slow_mul(ll a,ll b,ll m){
    ll result=0;a%=m;
    while(b){
        if(b&1){result=(result+a)%m;}
        b>>=1;
        a=(a+a)%m;
    }
    return result;
}
ll fast_pow(ll a,ll b,ll m){
    ll result=1;a%=m;
    while(b){
        if(b&1)result=slow_mul(result,a,m);
        b>>=1;
        a=slow_mul(a,a,m);
    }
    return result;
}
int main(){
    freopen("sumdiv.in","r",stdin);
    freopen("sumdiv.out","w",stdout);
    //freopen("cola.txt","r",stdin);
    scanf("%lld%lld",&A,&B);
    if(A==0){printf("0");return 0;}
    Isprime();
    ll ans=1;
    for(int i=1;p[i]*p[i]<=A;i++){//质因数分解 
        if(A%p[i]==0){
            int num=0;
            while(A%p[i]==0)num++,A/=p[i];
            ll M=mod*(p[i]-1);
            ans*=(fast_pow(p[i],num*B+1,M)-1)/(p[i]-1);
            ans%=mod;
        }
    }
    if(A>1){
        ll M=(A-1)*mod;
        ans*=(fast_pow(A,B+1,M)-1)/(A-1);
        ans%=mod;
    }
    printf("%lld",ans);
}