两篇关于最大似然估计和贝叶斯估计的入门文章

参数估计：最大似然、贝叶斯与最大后验（原文链接）

中国有句话叫“马后炮”，大体上用在中国象棋和讽刺人两个地方，第一个很厉害，使对方将帅不得动弹，但这个跟我们今天说的基本没关系；第二个用途源于第一个，说事情都发生了再采取措施，太迟了。但不可否认，我们的认知就是从错误中不断进步，虽然已经做错的不可能变得正确，但“来者尤可追”，我们可以根据既往的经验（数据），来判断以后应该采取什么样的措施。这其实就是有监督机器学习的过程。其中涉及的一个问题就是模型中参数的估计。

为什么会有参数估计呢？这要源于我们对所研究问题的简化和假设。我们在看待一个问题的时候，经常会使用一些我们所熟知的经典的模型去简化问题，就像我们看一个房子，我们想到是不是可以把它看成是方形一样。如果我们已经知道这个房子是三间平房，那么大体上我们就可以用长方体去描述它的轮廓。这个画房子的问题就从无数的可能性中，基于方圆多少里大家都住平房的经验，我们可以假设它是长方体，剩下的问题就是确定长宽高这三个参数了，问题被简化了。再如学生考试的成绩，根据既往的经验，我们可以假设学生的成绩是正态分布的，那么剩下的问题就是确定分布的期望和方差。所以，之所以要估计参数，是因为我们希望用较少的参数去描述数据的总体分布。而可以这样做的前提是我们对总体分布的形式是知晓的，只需要估计其中参数的值；否则我们要借助非参数的方法了。

参数估计的方法有多种，这里我们分析三种基于概率的方法，分别是最大似然估计（Maximum Likelihood）、贝叶斯估计（Bayes）和最大后验估计（Maximum a posteriori）。我们假设我们观察的变量是 $x$ ，观察的变量取值（样本）为 $\mathcal{D}=\{x_1, ...,x_N\}$ ，要估计的参数是 $\theta$ ， $x$ 的分布函数是 $p(x|\theta)$ （我们用条件概率来显式地说明这个分布是依赖于 $\theta$ 取值的）。实际中， $x$ 和 $\theta$ 都可以是几个变量的向量，这里我们不妨认为它们都是标量。

最大似然估计 Maximum Likelihood (ML)

“似然”的意思就是“事情（即观察数据）发生的可能性”，最大似然估计就是要找到 $\theta$ 的一个估计值，使“事情发生的可能性”最大，也就是使 $p(\mathcal{D}|\theta)$ 最大。一般来说，我们认为多次取样得到的 $x$ 是独立同分布的（iid），这样

$p(\mathcal{D}|\theta)=\prod_{\substack{i=1}}^{N}{p(x_i|\theta)}$

由于 $p(x_i)$ 一般都比较小，且N一般都比较大，因此连乘容易造成浮点运算下溢，所以通常我们都去最大化对应的对数形式

$\theta_{ML}^{*}=argmax_{\theta}\{\Sigma_{i=1}^{N}{log{p(x_i|\theta)}}\}$

具体求解释时，可对右式对 $\theta$ 求导数，然后令为0，求出 $\theta$ 值即为 $\theta_{ML}^{*}$ 。

最大似然估计属于点估计，只能得到待估计参数的一个值。(1) 但是在有的时候我们不仅仅希望知道 $\theta_{ML}^{*}$ ，我们还希望知道 $\theta$ 取其它值得概率，即我们希望知道整个 $\theta$ 在获得观察数据 $\mathcal{D}$ 后的分布情况 $p(\theta|\mathcal{D})$ . (2) 最大似然估计仅仅根据（有限的）观察数据对总体分布进行估计，在数据量不大的情况下，可能不准确。例如我们要估计人的平均体重，但是抽样的人都是小孩，这样我们得到的平均体重就不能反映总体的分布，而我们应该把“小孩之占总人口20%”的先验考虑进去。这时我们可以用贝叶斯方法。

贝叶斯估计 Bayes

使用Bayes公式，我们可以把我们关于 $\theta$ 的先验知识以及在观察数据结合起来，用以确定 $\theta$ 的后验概率 $p(\theta|\mathcal{D})$ ：

$p(\theta|\mathcal{D})=\frac{1}{Z_D}p(\mathcal{D}|\theta)p(\theta)$

其中 $Z_D=\int_{\theta} {p(\mathcal{D}|\theta)p(\theta)}\,\mathrm{d}\theta$ 是累积因子，以保证 $p(\theta|\mathcal{D})$ 和为1。要使用Bayes方法，我们需有关于 $\theta$ 的先验知识，即不同取值的概率 $p(\theta)$ 。比如 $\theta=1$ 表示下雨， $\theta=0$ 表示不下雨，根据以往的经验我们大体上有 $P(\theta=1)=0.01$ 、 $P(\theta=0)=0.99$ ，在这种知识不足的时候，可以假设 $\theta$ 是均匀分布的，即取各值的概率相等。

在某个确定的 $\theta$ 取值下，事件x的概率就是 $p(x|\theta)$ ，这是关于 $\theta$ 的函数，比如一元正态分布 $p(x|\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{(x-\theta)^2}{2})$ 。与上一节中的一样，我们认为各次取样是独立的， $p(\mathcal{D}|\theta)$ 可以分开来写，这样我们就可以得到 $p(\theta|\mathcal{D})$ 的一个表达式，不同的 $\theta$ 对应不同的值。

根据获得的 $p(\theta|\mathcal{D})$ ，我们边可以取使其最大化的那个 $\theta$ 取值，记为 $\theta_{B}^{*}$ 。可能有人已经看出问题来了：我们做了很多额外功，为了求得一个 $\theta_{B}^{*}$ ，我们把 $\theta$ 取其它值的情况也考虑了。当然在有的时候 $p(\theta|\mathcal{D})$ 分布是有用的，但是有的时候我们取并不需要知道 $p(\theta|\mathcal{D})$ ，我们只要那个 $\theta_{B}^{*}$ 。最大后验估计这个时候就上场了。

最大后验估计 MAP

最大后验估计运用了贝叶斯估计的思想，但是它并不去求解 $p(\theta|\mathcal{D})$ ，而是直接获得 $\theta_{B}^{*}$ 。从贝叶斯估计的公式可以看出， $Z_D$ 是与 $\theta$ 无关的，要求得使 $p(\theta|\mathcal{D})$ 最的的 $\theta$ ，等价于求解下面的式子：

$\theta_{MAP}^{*}={argmax}_{\theta}\{ p(\theta|x)\}=argmax_{\theta}\{p(x|\theta)p(\theta)\}$

与最大似然估计中一样，我们通常最大化对应的对数形式：

$\theta_{MAP}^{*}=argmax_{\theta}\{\log{p(x|\theta)}+\log{p(\theta)}\}$

这样，我们便无需去计算 $Z_{\mathcal{D}}$ ，也不需要求得具体的 $p(\theta|\mathcal{D})$ 部分，便可以得到想要的 $\theta_{MAP}^{*}$ 。

总结一下：三种方法各有千秋，使用于不同的场合。当对先验概率 $p(\theta)$ 的估计没有信心，可以使用最大似然估计（当然也可以使用其它两种）。贝叶斯估计得到了后验概率的分布，最大似然估计适用于只需要知道使后验概率最大的那个 $\theta$ 。

另外一方面，我们可以感觉到，最大似然估计和Bayes/MAP有很大的不同，原因在于后两种估计方法利用了先验知识 $p(\theta)$ ，如果利用恰当，可以得到更好的结果。其实这也是两大派别（Frequentists and Bayesians)的一个区别。

文本语言模型的参数估计-最大似然估计、MAP及贝叶斯估计（原文链接）

以PLSA和LDA为代表的文本语言模型是当今统计自然语言处理研究的热点问题。这类语言模型一般都是对文本的生成过程提出自己的概率图模型，然后利用观察到的语料数据对模型参数做估计。有了语言模型和相应的模型参数，我们可以有很多重要的应用，比如文本特征降维、文本主题分析等等。本文主要介绍文本分析的三类参数估计方法-最大似然估计MLE、最大后验概率估计MAP及贝叶斯估计。

1、最大似然估计MLE

首先回顾一下贝叶斯公式

$p(\theta|X) = \frac{p(X|\theta) \cdot p(\theta)}{p(X)}$

这个公式也称为逆概率公式，可以将后验概率转化为基于似然函数和先验概率的计算表达式，即

$posterior = \frac{likelihood \cdot prior}{evidence}$

最大似然估计就是要用似然函数取到最大值时的参数值作为估计值，似然函数可以写做

$L(\theta | X) = p(X | \theta) = \prod_{x \in X}{p(X = x | \theta)}$

由于有连乘运算，通常对似然函数取对数计算简便，即对数似然函数。最大似然估计问题可以写成

$\hat{\theta}_{ML} = argmax_\theta L(\theta | X) = argmax_\theta \sum_{x \in X}\log p(x|\theta)$

这是一个关于 $\theta$ 的函数，求解这个优化问题通常对 $\theta$ 求导，得到导数为0的极值点。该函数取得最大值是对应的 $\theta$ 的取值就是我们估计的模型参数。

以扔硬币的伯努利实验为例子，N次实验的结果服从二项分布，参数为P，即每次实验事件发生的概率，不妨设为是得到正面的概率。为了估计P，采用最大似然估计，似然函数可以写作

$\begin{aligned} L &= \log\prod_{i=1}^Np(C=c_i|p)=\sum_{i=1}^N\log p(C=c_i|p) \\ &= n^{(1)}\log p(C = 1|p) + n^{(0)}\log p(C = 0|p)\\ &= n^{(1)}\log p + n^{(0)}\log (1-p) \end{aligned}$

其中 $n^i$ 表示实验结果为i的次数。下面求似然函数的极值点，有

$\frac{\partial{L}} {\partial{p}} = \frac{n^{(1)}}{p} - \frac{n^{(0)}}{1-p} = 0$

得到参数p的最大似然估计值为

$\hat{p}_{ML} = \frac{n^{(1)}}{n^{(1)} + n^{(0)}} = \frac{n^{(1)}}{N}$

可以看出二项分布中每次事件发的概率p就等于做N次独立重复随机试验中事件发生的概率。

如果我们做20次实验，出现正面12次，反面8次

那么根据最大似然估计得到参数值p为12/20 = 0.6。

2、最大后验估计MAP

最大后验估计与最大似然估计相似，不同点在于估计 $\theta$ 的函数中允许加入一个先验 $p(\theta)$ ，也就是说此时不是要求似然函数最大，而是要求由贝叶斯公式计算出的整个后验概率最大，即

$\begin{aligned} \hat{\theta}_{MAP} &= argmax_\theta \frac{p(X | \theta) p(\theta)}{p(X)}\\ &= argmax_\theta p(X | \theta)p(\theta) \\ &= argmax_\theta \{L(\theta|X) + \log p(\theta)\}\\ &= argmax_\theta \{\sum_{x \in X} \log p(x | \theta) + \log p(\theta)\} \end{aligned}$

注意这里P（X）与参数 $\theta$ 无关，因此等价于要使分子最大。与最大似然估计相比，现在需要多加上一个先验分布概率的对数。在实际应用中，这个先验可以用来描述人们已经知道或者接受的普遍规律。例如在扔硬币的试验中，每次抛出正面发生的概率应该服从一个概率分布，这个概率在0.5处取得最大值，这个分布就是先验分布。先验分布的参数我们称为超参数(hyperparameter)即

$p(\theta)= p(\theta|\alpha)$

同样的道理，当上述后验概率取得最大值时，我们就得到根据MAP估计出的参数值。给定观测到的样本数据，一个新的值 $\tilde{x}$ 发生的概率是

$p(\tilde{x}|X) = \int_{\theta \in \Theta}p(\tilde{x}|\hat{\theta}_{MAP}) p(\theta | X) d\theta = p(\tilde{x}|\hat{\theta}_{MAP})$

下面我们仍然以扔硬币的例子来说明，我们期望先验概率分布在0.5处取得最大值，我们可以选用Beta分布即

$p(p|\alpha, \beta) = \frac{1}{B(\alpha, \beta)}p^{\alpha - 1}(1-p)^{\beta - 1} \stackrel{\triangle}{=}Beta(p|\alpha, \beta)$

其中Beta函数展开是

$B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}$

当x为正整数时

$\Gamma(n) = (n-1)!\,$

Beta分布的随机变量范围是[0,1],所以可以生成normalised probability values。下图给出了不同参数情况下的Beta分布的概率密度函数

我们取 $\alpha = \beta = 5$ ,这样先验分布在0.5处取得最大值，现在我们来求解MAP估计函数的极值点，同样对p求导数我们有

$\frac{\partial \hat\theta_{MAP}}{\partial p} = \frac{n^{(1)}}{p}-\frac{n^{(0)}}{1-p}+\frac{\alpha - 1}{p}-\frac{\beta - 1}{1 - p} = 0$

得到参数p的的最大后验估计值为

$\hat{p}_{MAP} = \frac{n^{(1)} + \alpha - 1}{n^{(1)} + n^{(0)} + \alpha + \beta - 2} = \frac{n^{(1)} + 4}{n^{(1)} + n^{(0)} + 8}$

和最大似然估计的结果对比可以发现结果中多了 $\alpha -1 , \alpha + \beta -2$ 这样的pseudo-counts,这就是先验在起作用。并且超参数越大，为了改变先验分布传递的belief所需要的观察值就越多，此时对应的Beta函数越聚集，紧缩在其最大值两侧。

如果我们做20次实验，出现正面12次，反面8次，那么

那么根据MAP估计出来的参数p为16/28 = 0.571,小于最大似然估计得到的值0.6，这也显示了“硬币一般是两面均匀的”这一先验对参数估计的影响。

3 贝叶斯估计

贝叶斯估计是在MAP上做进一步拓展，此时不直接估计参数的值，而是允许参数服从一定概率分布。回顾一下贝叶斯公式

$p(\theta|X) = \frac{p(X|\theta) \cdot p(\theta)}{p(X)}$

现在不是要求后验概率最大，这样就需要求 $p(X)$ ,即观察到的evidence的概率，由全概率公式展开可得

$p(X) = \int_{\theta \in \Theta}p(X|\theta)p(\theta)d\theta$

当新的数据被观察到时，后验概率可以自动随之调整。但是通常这个全概率的求法是贝叶斯估计比较有技巧性的地方。

那么如何用贝叶斯估计来做预测呢？如果我们想求一个新值 $\hat{x}$ 的概率，可以由

$p(\hat{x}|X) = \int_{\theta \in \Theta} p(\hat{x} | \theta)p(\theta|X)d\theta=\int_{\theta \in \Theta}p(\hat{x}|\theta)\frac{p(X|\theta)p(\theta)}{p(X)}d\theta$

来计算。注意此时第二项因子在 $\theta \in \Theta$ 上的积分不再等于1，这就是和MLE及MAP很大的不同点。

我们仍然以扔硬币的伯努利实验为例来说明。和MAP中一样，我们假设先验分布为Beta分布，但是构造贝叶斯估计时，不是要求用后验最大时的参数来近似作为参数值，而是求满足Beta分布的参数p的期望，有

注意这里用到了公式

$\int_p\prod_{t=1}^{|T|}P_t^{\alpha_t - 1} = B(\alpha)$

当T为二维的情形可以对Beta分布来应用；T为多维的情形可以对狄利克雷分布应用

根据结果可以知道，根据贝叶斯估计，参数p服从一个新的Beta分布。回忆一下，我们为p选取的先验分布是Beta分布，然后以p为参数的二项分布用贝叶斯估计得到的后验概率仍然服从Beta分布，由此我们说二项分布和Beta分布是共轭分布。在概率语言模型中，通常选取共轭分布作为先验，可以带来计算上的方便性。最典型的就是LDA中每个文档中词的Topic分布服从Multinomial分布，其先验选取共轭分布即Dirichlet分布；每个Topic下词的分布服从Multinomial分布，其先验也同样选取共轭分布即Dirichlet分布。

根据Beta分布的期望和方差计算公式，我们有

可以看出此时估计的p的期望和MLE ，MAP中得到的估计值都不同，此时如果仍然是做20次实验，12次正面，8次反面，那么我们根据贝叶斯估计得到的p满足参数为12+5和8+5的Beta分布，其均值和方差分别是17/30=0.567, 17*13/(31*30^2)=0.0079。可以看到此时求出的p的期望比MLE和MAP得到的估计值都小，更加接近0.5。

综上所述我们可以可视化MLE,MAP和贝叶斯估计对参数的估计结果如下

个人理解是，从MLE到MAP再到贝叶斯估计，对参数的表示越来越精确，得到的参数估计结果也越来越接近0.5这个先验概率，越来越能够反映基于样本的真实参数情况。

参考文献

Gregor Heinrich, Parameter estimation for test analysis, technical report

Wikipedia Beta分布词条 , http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution

posted @ 2013-10-08 20:56 stevenbush 阅读(2968) 评论(0) 编辑收藏举报

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参数估计：最大似然、贝叶斯与最大后验（原文链接）

文本语言模型的参数估计-最大似然估计、MAP及贝叶斯估计（原文链接）

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