UVA_10900
这个题目从一开始思路上就有问题，后来结合别人的解题报告来看，终于明白是怎么回事了，而且也突然发现，貌似我适合冒险但不适合赌博……
我们不妨设a[i]表示正确做完第i道题的收益的期望，显然我们最后要求的就是a[0]咯，但这个先放一放，我们先讨论一下在做第i+1个题目前我们是选择答题呢还是选择放弃呢。
首先，我们可以直观的想到，如果做完i题就退出的话，就可以得到2^i这么多钱。不妨假设答对第i+1个题的概率为p，那么我们自然会想到用p乘以“某个值”表示答题所获得的收益的期望，如果p乘以这个值大于2^i的话，我们肯定会选择答题咯，因为若是这样答题的话收益的期望是大于不答题的。那么现在问题就来了，这个“某个值”是什么呢？可能的最大值？可能的最小值？还是平均值（或者说是期望）？
如果做个比喻的话，选最大值的就是冒险狂，选最小值的就是胆小鬼，选平均值的就是接受过良好高等教育的ACMer，一开始我就成了冒险狂……
后来想想，也确实只有平均值在统计里面才比较有说服力，因此题目中所谓的plays the best strategy就是按我们上面所说的去决策每次究竟是答题还是不答题。上面我们只是对于p是固定值来讨论的，如果我们对p是任意的去讨论的话，显然不答题的平均收益是不变的，因为它和p没关系，仍是2^i，如果答题的话平均收益就应该是(ep+1)/2*a[i+1]，ep就是我们前面讨论的“分水岭”，用表达式写出来就是ep=2^i/a[i+1]，当p>ep，那么p*a[i+1]>2^i，也就是说如果答对这个题我就可以获得a[i+1]这么多钱，再乘答对的概率p就是答第i+1题的收益的期望，如果这个期望大于2^i，那么就会选择答题。当然题目中让算的是总收益，我们再各自乘以答题与否这些情况出现的概率即可，即a[i]=(ep-t)/(1-t)*2^i+(t-ep)/(1-t)*(ep+1)/2*a[i+1]，这个式子值列出了ep>t的情况，对于ep<=t的情况，也可以类似写出表达式。
现在我们就发现了，计算a[i]是需要用到a[i+1]的，那我们怎么办？倒着算呗。那么a[N]是多少？显然是2^N，因为答对第N个题之后收益的期望自然就是最大的收益。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#define MAXD 35
int N;
double T, q[MAXD];
void solve()
{
int i, j, k;
double eq, f = 1, quit;
f = q[N];
for(i = N - 1; i >= 0; i --)
{
quit = q[i];
eq = quit / f;
if(eq <= T)
f = (T + 1) / 2 * f;
else
f = (eq - T) / (1 - T) * quit + (1 - eq) / (1 - T) * (eq + 1) / 2 * f;
}
printf("%.3lf\n", f);
}
int main()
{
q[0] = 1;
for(int i = 1; i <= 30; i ++)
q[i] = 2 * q[i - 1];
for(;;)
{
scanf("%d%lf", &N, &T);
if(!N)
break;
if(fabs(1 - T) < 1e-9)
printf("%.3lf\n", q[N]);
else
solve();
}
return 0;
}
