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本章介绍迪杰斯特拉算法。和以往一样,本文会先对迪杰斯特拉算法的理论论知识进行介绍,然后给出C语言的实现。后续再分别给出C++和Java版本的实现。

目录
1. 迪杰斯特拉算法介绍
2. 迪杰斯特拉算法图解
3. 迪杰斯特拉算法的代码说明
4. 迪杰斯特拉算法的源码

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更多内容:数据结构与算法系列 目录

迪杰斯特拉算法介绍

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法,用于计算一个节点到其他节点的最短路径。
它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想),直到扩展到终点为止。


基本思想

     通过Dijkstra计算图G中的最短路径时,需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

     此外,引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度),而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

     初始时,S中只有起点s;U中是除s之外的顶点,并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。然后,从U中找出路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后,再从U中找出路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。 ... 重复该操作,直到遍历完所有顶点。


操作步骤

(1) 初始时,S只包含起点s;U包含除s外的其他顶点,且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如,U中顶点v的距离为(s,v)的长度,然后s和v不相邻,则v的距离为∞]。

(2) 从U中选出"距离最短的顶点k",并将顶点k加入到S中;同时,从U中移除顶点k。

(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离,是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点,从而可以利用k来更新其它顶点的距离;例如,(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。

(4) 重复步骤(2)和(3),直到遍历完所有顶点。

单纯的看上面的理论可能比较难以理解,下面通过实例来对该算法进行说明。

迪杰斯特拉算法图解

以上图G4为例,来对迪杰斯特拉进行算法演示(以第4个顶点D为起点)。

初始状态:S是已计算出最短路径的顶点集合,U是未计算除最短路径的顶点的集合!
第1步:将顶点D加入到S中。
    此时,S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。     注:C(3)表示C到起点D的距离是3。

第2步:将顶点C加入到S中。
    上一步操作之后,U中顶点C到起点D的距离最短;因此,将C加入到S中,同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例,之前F到D的距离为∞;但是将C加入到S之后,F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。
    此时,S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。

第3步:将顶点E加入到S中。
    上一步操作之后,U中顶点E到起点D的距离最短;因此,将E加入到S中,同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例,之前F到D的距离为9;但是将E加入到S之后,F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。
    此时,S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。

第4步:将顶点F加入到S中。
    此时,S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。

第5步:将顶点G加入到S中。
    此时,S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。

第6步:将顶点B加入到S中。
    此时,S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。

第7步:将顶点A加入到S中。
    此时,S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。

此时,起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了:A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)

迪杰斯特拉算法的代码说明

以"邻接矩阵"为例对迪杰斯特拉算法进行说明,对于"邻接表"实现的图在后面会给出相应的源码。

1. 基本定义

// 邻接矩阵
typedef struct _graph
{
    char vexs[MAX];       // 顶点集合
    int vexnum;           // 顶点数
    int edgnum;           // 边数
    int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵
}Graph, *PGraph;

// 边的结构体
typedef struct _EdgeData
{
    char start; // 边的起点
    char end;   // 边的终点
    int weight; // 边的权重
}EData;

Graph是邻接矩阵对应的结构体。
vexs用于保存顶点,vexnum是顶点数,edgnum是边数;matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如,matrix[i][j]=1,则表示"顶点i(即vexs[i])"和"顶点j(即vexs[j])"是邻接点;matrix[i][j]=0,则表示它们不是邻接点。
EData是邻接矩阵边对应的结构体。

2. 迪杰斯特拉算法

/*
 * Dijkstra最短路径。
 * 即,统计图(G)中"顶点vs"到其它各个顶点的最短路径。
 *
 * 参数说明:
 *        G -- 图
 *       vs -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点vs"到其它顶点的最短路径。
 *     prev -- 前驱顶点数组。即,prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中,位于"顶点i"之前的那个顶点。
 *     dist -- 长度数组。即,dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。
 */
void dijkstra(Graph G, int vs, int prev[], int dist[])
{
    int i,j,k;
    int min;
    int tmp;
    int flag[MAX];      // flag[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。

    // 初始化
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
    {
        flag[i] = 0;              // 顶点i的最短路径还没获取到。
        prev[i] = 0;              // 顶点i的前驱顶点为0。
        dist[i] = G.matrix[vs][i];// 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。
    }

    // 对"顶点vs"自身进行初始化
    flag[vs] = 1;
    dist[vs] = 0;

    // 遍历G.vexnum-1次;每次找出一个顶点的最短路径。
    for (i = 1; i < G.vexnum; i++)
    {
        // 寻找当前最小的路径;
        // 即,在未获取最短路径的顶点中,找到离vs最近的顶点(k)。
        min = INF;
        for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
        {
            if (flag[j]==0 && dist[j]<min)
            {
                min = dist[j];
                k = j;
            }
        }
        // 标记"顶点k"为已经获取到最短路径
        flag[k] = 1;

        // 修正当前最短路径和前驱顶点
        // 即,当已经"顶点k的最短路径"之后,更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。
        for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
        {
            tmp = (G.matrix[k][j]==INF ? INF : (min + G.matrix[k][j])); // 防止溢出
            if (flag[j] == 0 && (tmp  < dist[j]) )
            {
                dist[j] = tmp;
                prev[j] = k;
            }
        }
    }

    // 打印dijkstra最短路径的结果
    printf("dijkstra(%c): \n", G.vexs[vs]);
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
        printf("  shortest(%c, %c)=%d\n", G.vexs[vs], G.vexs[i], dist[i]);
}

迪杰斯特拉算法的源码

这里分别给出"邻接矩阵图"和"邻接表图"的迪杰斯特拉算法源码。

1. 邻接矩阵源码(matrix_udg.c)

2. 邻接表源码(list_udg.c)

posted on 2014-05-20 09:11 如果天空不死 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏