我们知道 .NET Framework 4 中已经有了 System.Numerics.BigInteger 结构。但是该 BigInteger 结构中没有 Sqrt 方法。那么就让我们自己来写一个吧：
01: using System; 02: using System.Numerics; 03: 04: namespace Skyiv 05: { 06: public static class Extensions 07: { 08: public static BigInteger Sqrt(this BigInteger x) 09: { 10: if (x.Sign < 0) throw new ArgumentOutOfRangeException("x", "must be greater than or equal to zero"); 11: BigInteger low, high; 12: GetLowAndHigh(x, out low, out high); 13: var mid = low; 14: var cmp = 0; 15: while (low.CompareTo(high) <= 0) 16: { 17: mid = (low + high) / 2; 18: cmp = (mid * mid).CompareTo(x); 19: if (cmp < 0) low = mid + 1; 20: else if (cmp > 0) high = mid + (-1); 21: else return mid; 22: } 23: if (cmp > 0) mid--; 24: return mid; 25: } 26: 27: static void GetLowAndHigh(BigInteger x, out BigInteger low, out BigInteger high) 28: { 29: var n = x.ToByteArray().Length; 30: if (n < 2) 31: { 32: low = 0; 33: high = x; 34: return; 35: } 36: var bs = new byte[n / 2 + 1]; 37: var k = bs.Length - 2; 38: if (n % 2 == 0) 39: { 40: bs[k] = 0x0B; 41: low = new BigInteger(bs); 42: bs[k] = 0xB6; 43: high = new BigInteger(bs); 44: } 45: else 46: { 47: bs[k] = 0xB5; 48: low = new BigInteger(bs); 49: bs[k] = 0x51; 50: bs[k + 1] = 0x0B; 51: high = new BigInteger(bs); 52: } 53: } 54: } 55: }
上述程序中第 27 到 53 行的 GetLowAndHigh 方法用于获得指定的大整数的平方根的下限和上限，然后在第 8 到 25 行的 Sqrt 方法中使用二分搜索来找出所求的平方根。
BigInteger.ToByteArray 方法将 BigInteger 转换为字节数组。对于大于零的 BigInteger ，转换后的字节数组的长度固定的情况下，最小值为 00-80-00-00-00 形式，最大值为 7F-FF-FF-FF-FF 形式，刚好比下一组最小值小一。如下表所示：
| n | x | Sqrt(x) |
|---|---|---|
| 2 | 00-80 | 0B |
| 3 | 00-80-00 | 00-B5 |
| 4 | 00-80-00-00 | 0B-50 |
| 5 | 00-80-00-00-00 | 00-B5-04 |
| 6 | 00-80-00-00-00-00 | 0B-50-4F |
| 7 | 00-80-00-00-00-00-00 | 00-B5-04-F3 |
| 8 | 00-80-00-00-00-00-00-00 | 0B-50-4F-33 |
| 9 | 00-80-00-00-00-00-00-00-00 | 00-B5-04-F3-33 |
从上表中可以看到，假设 x 转换为字节数组后，长度为 n ，则 Sqrt(x) 转换为字节数组后，其长度为 n / 2 + 1。
对于 n 为偶数的情况(程序中第 40 到 43 行)：
- 最小值大于 00-0B-00-00-...
- 最大值小于 00-B6-00-00-...
对于 n 为奇数的情况(程序中第 47 到 51 行)：
- 最小值大于 00-B5-00-00-...
- 最大值小于 0B-51-00-00-...
在 .NET Framework 2.0 中并没有 BigInteger。我以前自己用 C# 写过 BigInteger，也实现了 Sqrt 方法。可以参见以下随笔：
使用快速傅里叶变换实现 BigInteger 时，是调用 BigArithmetic 类的静态方法。其中 Sqrt 方法是使用牛顿迭代法计算平方根：
Ui+1 = Ui (3 - VUi2) / 2
则 U∞二次收敛于 1/√V，最后乘以 V 就得到√V。求平方根的速度比本文中的二分搜索法要快。
