数的分解，据说是清华的一道复试上机题

来源: http://topic.csdn.net/u/20100325/20/38e39935-9463-452c-a194-1ed8f6b49c99.html

任何数都能分解成2的幂，
例如：7
=1+1+1+1+1+1+1
=1+1+1+1+1+2
=1+1+1+2+2
=1+1+1+4
=1+2+2+2
=1+2+4
求任意整数n(n<100亿)的此类划分数。

解:

记f(n)为n的划分数，我们有递推公式：
f(2m + 1) = f(2m)，
f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
初始条件：f(1) = 1。

证明:

证明的要点是考虑划分中是否有1。

记:
A(n) = n的所有划分组成的集合，
B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合，
C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合，
则有: A(n) = B(n)∪C(n)。

又记:
f(n) = A(n)中元素的个数，
g(n) = B(n)中元素的个数，
h(n) = C(n)中元素的个数，
易知: f(n) = g(n) + h(n)。

以上记号的具体例子见文末。

我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m)，
首先，2m + 1 的每个划分中至少有一个1，去掉这个1，就得到 2m 的一个划分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。
其次，2m 的每个划分加上个1，就构成了 2m + 1 的一个划分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。
综上，f(2m + 1) = f(2m)。

接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个，就得到 A(2m - 1) 中的一个划分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。
把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1，就得到 B(2m) 中的一个划分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。
综上，g(2m) = f(2m - 1)。

把 C(2m) 中的划分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一个划分，故 h(2m)≤f(m)。
把 A(m) 中的划分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一个划分，故 f(m)≤h(2m)。
综上，h(2m) = f(m)。

所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。                                            

这就证明了我们的递推公式。

记 f(0) = 1，根据递推公式，可以得到:
f(2m) = f(0) + f(1) + ... + f(m)。
(证明留给读者)

一些例子：

A(3) = {
  (1,1,1)
  (1,2)
},
f(3) = 2,

A(4) = {
 (1,1,1,1)
  (1,1,2)
  (2,2)
  (4)
},
f(4) = 4,

A(5) = {
 (1,1,1,1,1)
  (1,1,1,2)
  (1,2,2)
  (1,4)
},
f(5) = 4,

A(6) = {
 (1,1,1,1,1,1)
  (1,1,1,1,2)
  (1,1,2,2)
  (1,1,4)
  (2,2,2)
  (2,4)
},
f(6) = 6,

B(6) = {
 (1,1,1,1,1,1)
  (1,1,1,1,2)
  (1,1,2,2)
  (1,1,4)
},
g(6) = 4,

C(6) = {
  (2,2,2)
  (2,4)
},
h(6) = 2.