DSP复习笔记<7><chapter 5>
开坑时间记录 2023-06-11 17:28:35 希望我不会死在第五章😭 东西是真tnnd多啊，第四章都给我整出来心理阴影了啊啊啊不能骂人不能骂人
第五章 有限长离散变换
care points: DFT：定义、性质、对称关系、圆周卷积 FFT：基2，蝶形变换
注：虽然说是第五章，但会带过十一十二章的部分内容，而且它自己本身有14节比其它任意一章都多接近两倍，6
目的：较长的时域信号被分割为一组较短的序列，然后较短的序列进行有限长变换进入变换域，在变换域中处理之后由逆变换得到新的时域序列，然后将这些短序列通过适当的组合得到最终长序列。
5.1 正交变换
分析式，将x[n]分解为基序列的加权和
综合式，将基序列合并为原x[n]
这是基序列
基序列满足如图条件为正交序列：
这是帕塞瓦尔定理
5.2 离散傅里叶变换 DFT
本章主要讨论离散傅里叶变换
前瞻：
连续时间傅里叶级数：
连续时间傅里叶变换：
离散时间傅里叶变换：
离散时间傅里叶级数：因为连续级数这样表示：
离散等于采样：
deta T是采样间隔，omega0是x(t)的角频率
，Tp是x(t)周期，又
这个图可以看得很清楚,N是离散后序列的周期，
所以
，
对比5.1，可得基本序列是
，其中
（令
，没记错的话这玩意叫旋转因子）
得到DFS为
验证一下基序列
而且周期为N
我也想知道是不是把DFS和DTFS混为一谈了
2.1 定义
时域中N点序列x[n]的离散傅里叶变换为
可以看出来DFT为一个长度为N的序列，如果k不限制范围的话，那就是周期为N的序列（上面提过了）
N点DFT：指的是DFT长度为N
建议看到这里先看一下5.3.1
逆变换IDFT则为：
关于
自证（为啥其他情况会等于0呢）
例题：
根据
得到
2.2 计算复杂度问题
计算DFT和IDFT需要N2次复数相乘和N(N-1)次复数相加
为了减少运算复杂度，提出FFT算法，将计算量可减少至N（log2N）次运算
2.3 矩阵关系
这个可以表示为
其中
但我感觉我真考试的话应该不会用矩阵算
2.4 用matlab计算DFT
略
5.3 DTFT与DFT及其逆之间的关系
3.1 与离散时间傅里叶变换的关系
长度为N的序列x[n]的傅里叶变换为
它是以2π为周期的，我们在2π上进行w=2πk/N的等间隔抽样
会发现得到了它的N点DFT，所以DFT是信号DTFT的频率采样
3.2 用DFT对DTFT进行数值计算
看不懂，挖坑
3.3 通过插值由DFT得到DTFT
3.4 对傅里叶变换抽样
5.4 圆周卷积
考虑两个长度N的序列
他们的线性卷积：
圆周卷积：
满足交换律和结合律
例如：
求四点圆周卷积
圆周和线性卷积
假设两个序列长度分别为N、M，则需要进行补零操作补到L
然后进行L点圆周运算
还有列表法
这是线性表
这是圆周表
5.5 有限长序列的分类
5.1 基于共轭对称的分类
有限长序列定义在0~N-1按理来说没法对称
但是可以搞圆周对称
序列表示为：
其中共轭对称：
圆周共轭对称定义为：
共轭反对称：
圆周共轭反对称定义为：
对于实序列
共轭对称部分为实序列xev[n]称为圆周偶部分
共轭反对称部分也为实序列xod[n]称为圆周奇部分
同样适用于频域、
5.2 基于几何对称的分类
1.奇数个点
左列上：
符合对称
左列下：
反对称
右列同理
5.6 DFT对称关系
1.复序列
a.
复序列可表示为实部加虚部
它的DFT变换为实部的DFT加虚部DFT（线性，无可厚非）
又
所以
（只从该式可看出）
b.如果加上
则实部的DFT可写为
即原信号实的实部DFT对应为原信号DFT的共轭对称
（见下方c推导）
c.DFT的复共轭可表示为
（同时可推导出
）
所以
右边是xn共轭的DFT
即
d. 另外
即DFT可用原序列的共轭对称和共轭反对称表示
可证
这表里的上面都讲了，有点绕
2.实序列
所以
偶部分DFT为原信号DFT实部分
奇部分DFT为j乘虚部
5.7 离散傅里叶变换定理
看表即可
其中N点圆周卷积的证明：
5.8 傅里叶域滤波
不作过多了解
5.9 计算实序列的DFT
好了，开始用较长篇幅讲一下第十一章的FFT
这是因为人类的节约引起的一个话题
因为，做圆周卷积用DFT相乘简化，但是DFT本身也需要简化
没看错应该是n*N次乘法
额，我也看不出来是怎么统计的
所以需要FFT（快速傅里叶变换）
思想：将N点DFT分解为尺寸较小DFT
综合说一下旋转因子的性质
所以
以N为周期
因为是纯复数
基2时间抽取FFT（要求原信号长度为2的M次方）
（注意时域中序列长度为N）
（右边是0,2,4，N-2，左边是1,3,5，N-1，总共还是N个）
（为了凑DFT正好又与变量r无关所以左边把那个量拎出来了）
所以我看不懂这步
（用来求后半部分的DFT但X0为啥不变啊）（哦，因为下标是N/2，相当于加了个周期，确实不变）
整个蝶形图：
该蝶形图里用了一次复数乘和两次复数加
例：原信号长度为8 按时间抽取
仔细看的话，X[0]等于x[0]
啊？
额，我反应过来了，比如X[4]对应的是后半段的第0位，所以对应奇偶序列中的第0位，即x[0]和x[1],而且由于是后半段，所以Wnk要乘负一，前半段同理，但是是不用乘负一的，直接加
然后我们把它变成真正意义上的基2，因为上面仍然做的4点DFT啊，还不够简单
就是偶序列里再分奇偶，可以看到，例如，单独考虑本来的偶序列0,2,4,6
则0,4变成了偶序列（正常认知是奇，但是这样划分我也没办法,从0开始嘛）
2,6变成了基序列，做两点DFT变换，然后后面比如X[2],对应后半段的第1位，所以是由x[4]和x[6]求解
忽略上述错误推导
还是得慢慢推
比如X[2],对应前半段的第三位，所以是偶序列X[4]和奇序列X[5]的结合
没错，然后偶序列的X[4]是后半段的第一位（从0开始算），对应其偶序列的
完了，我又绕进去了，自己抄题对着写吧，
像这样
推导如下：
两点DFT：
所以把两点DFT再添进去完整蝶形图就是这样的
恕我直言，中间那段看不懂，头尾都能看懂，服了
计算复杂度应该不考吧（心虚）
基2频率抽取FFT
不太懂
基4时间抽取FFT：
分为四组
N不满足要求需要补零
但是大量补零会影响实际效果
所以可以采用混合基，先用基3进行一次，分为3组，每组32个点，再进行基2，因为是2的五次方，不用补零，最后得到的依旧是96点的DFT
最后说一下FFT算法的应用，包含了5.9和5.10和11.3.4部分内容
11.3.4—计算N点IDFT，利用N点复序列DFT
N点DFT改为N点FFT 看不懂
9.1 用单个N点DFT计算两个实序列的N点DFT
其实说应用也仅仅是把DFT改成FFT罢了，但是这块的核心是对称性质，实部分DFT对应共轭对称，虚部DFT对应是共轭反对称
9.2 用单个N点DFT计算一个实序列的2N点DFT
2N点的实序列假设为x[n]
定义N点实序列为
一个为偶序列一个为奇序列长度均为N
改为FFT
合二为一即单个N点序列
跟上面一样
最后合成
相当于把做了一次纯FFT计算而已，就是把x[n]分为奇偶然后各自做2N/2即N的DFT计算最后再合成，没了
5.10 用DFT实现线性卷积
这是利用DFT的圆周卷积
利用圆周卷积的线性卷积需要补零
10.1 两个有限长序列的线性卷积
10.2 循环前缀
不要求
10.3 有限长序列和无限长序列的线性卷积
a.重叠相加法
b.重叠保留法
无限长的...不好说，看不懂
5.11 短时傅里叶变换
11.1 定义
11.2 在时间和频率维抽样
11.3 用matlab计算短时傅里叶变换
下面两个变换主要应用于信号压缩（应该不是重点）
浙公网安备 33010602011771号