整数划分问题

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一。整数划分是指把一个正整数n表示成一系列正整数之和：

        n=n1+n2+···+nk   （其中，n1≥n2≥···≥nk≥1,k≥1）

 正整数n的这种表示称为正整数n的划分。正整数n的不同划分个数称为正整数n的划分数，记作p（n）。列如，正整数6有如下11种不同的划分，所以p（6）=11。

6

5+1

4+2，4+1+1

3+3，3+2+1，3+1+1+1

2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1

1+1+1+1+1+1

如果{n1,n2,···,ni}中的最大加数s不超过m，即s=max（n1,n2,···,ni)≤m，则称它属于n的一个m划分。记n的m划分个数为f（n，m）。该问题就转化为求n的所有划分个数f（n，n）。可以建立f（n，m）的递归关系如下：

1，f（1，m）=1，m≥1

2，f（n，1） =1，n≥1

3，f（n，m）=f（n，n），m≥n

4，f（n，n）=1+f（n，n-1）

5，f（n，m）=f（n，m-1）+f（n-m，m），n>m>1

 

代码的实现

int split(int n,int m)
{
    if(n==1||m==1) return 1;
    else if(n<m) return split(n,n);
    else if(n==m) return split(n,n-1)+1;
    else return split(n,m-1)+split(n-m,m);
}