PCurve - Curve on Surface

PCurve - Curve on Surface

eryar@163.com

Abstract. 本文通过给出曲面上曲线PCurve的定义来对OpenCascade中的Curve On Surface进行理解,并介绍了OpenCascade对应的类BRep_CurveOnSurface实现。通过Tcl脚本输出的球的拓朴信息,分析PCurve的实际应用。 

Key words. OpenCascade, ACIS, PCurve, Curve on Surface, Parametric Surface 

1. Introduction

不管是ACIS还是OpenCascade中都有PCurve这个概念,字面上来理解就是参数曲线(Parametric Curve)。在《基于ACIS的几何造型技术与系统开发》中也看到这个概念,如下图所示: 

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Figure 1.1 PCurve Entity of ACIS 

“参数空间曲线是在参数曲面的双参数空间中的二维样条曲线。类pcurve是附加在参数曲面之间公共边上的数据结构。”看完之后,对pcurve的概念还是不太清楚。本文给出PCurve的定义,并介绍PCurve在OpenCascade中的实现。根据定义可以对PCurve有个基本认识。 

2. Definition of PCurve

PCurve为曲面上的曲线(Curve on Surface),其定义为:设曲面方程为 

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令参数u,v又是另一参数t的函数,即 

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将其代入曲面方程,得到: 

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当t变化时,就得到曲面上的一条单参数曲线,称为曲面上的曲线或简称曲面上曲线(Curve on Surface)。若以s表示曲面上曲线的弧长,则由复合函数的求导公式可得弧长微分公式: 

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令: 

wps_clip_image-20813

则有: 

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在古典微分几何中,上式称为曲面的第一基本公式,E,F,G称为第一基本量。在曲面上,每一点的第一基本量与参数化无关,在整张曲面上,第一基本量是参数u和v的连续函数。读者注意,弧元ds是曲线的几何不变量,与曲面的参数化无关。关于曲线曲面更多的信息,请参考《微分几何》、《计算几何》之类的书籍。本文主要为了理解曲面上曲线PCurve的概念及其在OpenCascade中的实现。 

目前对PCurve的应用还不太清楚,但是微分几何中引入这个概念肯定是有他的意义,就像在程序设计中引入Pimpl(pointer to implementation)这个idiom。尽管引入Pimpl idiom会增加内存的额外开销,甚至因为增加了间接层使程序代码变得不易读和不好调试,但是人们仍然乐于使用。站在API设计者的角度,它能隐藏信息、降低耦合、减少文件间的依赖,加快编译速度、且可使生成的库的兼容性更好等等,很多优点。所以在《Effective C++》和《API Design for C++》中,作者反复提到并使用Pimpl idiom。类比微分几何引入的PCurve,先在此做上标记,如果有了新的理解再做分析。 

3. PCurve in OpenCascade

在OpenCascade中对应于曲面上曲线PCurve的类是BRep_CurveOnSurface,其文档中的说明为:Representation of a curve by a curve in the parametric space of a surface. 

结合定义上面这句话就好理解了。现摘抄部分代码来分析PCurve的定义和使用:

//=======================================================================
//function : BRep_CurveOnSurface
//=======================================================================
BRep_CurveOnSurface::BRep_CurveOnSurface(const Handle(Geom2d_Curve)& PC, 
                     const Handle(Geom_Surface)& S, 
                     const TopLoc_Location& L) :
       BRep_GCurve(L,PC->FirstParameter(),PC->LastParameter()),
       myPCurve(PC),
       mySurface(S)
{
}

//=======================================================================
//function : D0
//=======================================================================
void BRep_CurveOnSurface::D0(const Standard_Real U, gp_Pnt& P) const
{
  // shoud be D0 NYI
  gp_Pnt2d P2d = myPCurve->Value(U);
  P = mySurface->Value(P2d.X(),P2d.Y());
  P.Transform(myLocation.Transformation());
}

从其构造函数来看,要生成一个PCurve必须有曲线PC和曲面S及位置L。 

从求PCurve的零次微分的函数D0可以看出,只需要一个参数U就可以计算出曲面上的点P。结合前面介绍的PCurve的定义,不难理解这段代码的意义。下面通过分析球面的拓朴结构,看看PCurve的应用。 

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Figure 3.1 Sphere in Draw Test Harness 

4. Code Demo

下面的程序生成一个球,再把其拓朴结构显示出来,可以看到其中就有PCurve的信息。使用Tcl脚本程序示例如下:

pload ALL
psphere s 1.0
dump s

以上Tcl脚本在OpenCascade的Draw Test Harness中运行结果如下所示: 

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Figure 4.1 PCurve in Sphere 

由上图可知,球的Edge5由一个PCurve来表示。曲面上曲线PCurve在拓朴结构输出的信息位于Curve2ds中,曲面的几何数据位于surfaces中,分别如下图所示: 

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Figure 4.2 PCurves of Sphere 

PCurve编号为4的是条直线,起点(0,-1.570796),方向为(1,0)即X方向。 

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Figure 4.3 Surfaces of Sphere 

曲面编号为1的是一个球面,圆心(0,0,0),半径为1,坐标系与世界坐标系相同。 

结合PCurve 4和曲面1及PCurve的参数范围,可以计算出曲面上的一条曲线上的坐标值。不过上面球面的例子中的Edge是degenerated边,退化成一个点了。 

由上面球的拓朴信息可知,在理解了参数曲线曲面(有向性)、奇点(Singular Point),参数曲面的奇异性(Singularity)、曲面上曲线(PCurve)等概念后,OpenCascade的拓朴结构就可以基本理解了。 

5. Conclusions

本文通过给出曲面上曲线PCurve的定义来对OpenCascade中的Curve On Surface进行理解,并介绍了OpenCascade对应的类BRep_CurveOnSurface实现。 

通过Tcl脚本输出的球的拓朴信息,看看PCurve的实际应用,从中可以看出使用Tcl的简单与便捷。 

6. References

1. 朱心雄,自由曲线曲面造型技术,科学出版社,2000 

2. 王仁宏 李崇君 朱春钢,计算几何教程,科学出版社,2008 

3. 陈维桓,微分几何,北京大学出版社,2006 

4. 詹海生 李广鑫 马志欣,基于ACIS的几何造型技术与系统开发,清华大学出版社,2002

posted @ 2014-03-15 12:13 opencascade 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏