【资料】康托展开

所谓康拓展开就是当你的状态很复杂，不能直接判断hash的时候，就要用到这个来记录状态，保证状态一一对应！

 

 

    百度百科中对康托展开是这样解释的——{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列，如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321，代表数字 1 2 3 4 5 6，也就是把10进制数与一个排列对应起来，他们间的对应关系可由康托展开来找到。简单的说就是求一个排列数在所有排列中是第几小的。当然，要实现这个功能，途径有很多，比如我们把所有的排列都找出来，然后排个序，二分查找……
    德国数学家康托（应该不会重名吧）发现其实可以又更简单高效的算法来解决这个问题：例如我们求35412在{1，2，3，4，5}的生成的排列中是第几小的：
第一位是3，第一位比3小的排列数肯定小于35412，比3小的有1，2；共2个数，所以有2*4！；
第二位是5，同理，比5小的有1，2，3，4；因为3已经在前面出现了，所有还有3个比5小的，3*3！；
第三位是4，比4小的有1，2，3；3在前面出现了，还有2个比4小的数，2*2！；
第四位是1，没有比1小的数，所以是0*1！；
最后一位无论是几，比它小的数在前面肯定都出现了，所以有0*0！；
所以，比35412小的排列数共有：2*4！+3*3！+2*2！+0*1！+0*0！=70，35412是第71小的数。
下面是一个实现康托展开功能的程序：

康托展开也可以看成是变进制数：第i位的权值是(n-i)!,第i位的数字是它右边比它小的数字的个数。
为了程序实现方便，可以反个向，第i位的权值是(i-1)!,第i位的数字是它左边比它小的数字的个数。实质一回事。

function cantor(a:tstatus):longint;
var
  i,j,count,js,ans:longint;
begin
  ans:=0;
  js:=1;
  for i:=2 to n do
  begin
    js:=js*(i-1);  //计算第i位权值
    count:=0;
    for j:=1 to i-1 do
      if a[j]<a[i] then inc(count);//计算第i位数字
    ans:=ans+count*js;//累加
  end;
  exit(ans);
end;

 

  康托展开有什么用处呢？因为这种映射是一对一的关系，不会产生冲突，因此它在hash应用中有不错的表现。所以，作为排列数的hash映射是康托展开的主要应用，USACO 3.2.5 Magic Squares就是一个很好的应用
 

 

如果想深入的就看看下面的。。。

 

康托展开　　
康托展开的公式

　　把一个整数X展开成如下形式：
　　X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!
　　其中，a为整数，并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)
　　
康托展开的应用实例

　　{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。
　　代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。
　　他们间的对应关系可由康托展开来找到。
　　如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：
　　第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。
　　再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。
　　
康托展开的代码实现
后文的PASCAL程序经检验可以正确工作，并指示出了一个简洁的计算方法，和前文的运算思路略有不同，不需要检验某数码是否使用过，只需检查第(n+1-i)位之后比第(n+1-i)位小的位的数量，将这个数量作为公式中的a[i]。(1<=i<=n)
　　并附此算法C++版本。
　　康托展开的代码（C++语言）：

　　unsigned long cantor(unsigned long S)
　　{
　　long x=0,i,p,k,j;
　　bool hash[8]={false};
　　for (i=8;i>=2;i--)
　　{
　　k=S>> 3*(i-1);
　　S-=k<<3*(i-1);
　　hash[k]=true;
　　p=k;
　　for (j=0;j<=k-1;j++)
　　if (hash[j])
　　p--;
　　x+=fac[i-1]*p;
　　}
　　return x;
　　} 

 

　　康托展开的代码（Pascal语言）：
　　s为数组，用来存储要求的数，形如(1,3,2,4)。
　　n为数组中元素个数。
　　fac[x]为x!

　　function cantor:longint:;
　　var
　　　i,j,temp:integer;
　　　num:longint;
　　begin
　　　num:=0;
　　　for i:=1 to n-1 do
　　　begin
　　　  temp:=0;
　　  　for j:=i+1 to n do 
　　  　if s[j]<s[ i ] then inc(temp);
　  　　num:=num+fac[n-i]*temp;
　  　end;
　 　cantor:=num+1;
　　end;

 

　　康托展开的代码（C语言）：
　　//参数int s[]为待展开之数的各位数字,如需展开2134,则s[4]={2,1,3,4}.

　　int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//...
　　long cantor(int s[],int n){
　　int i,j,temp,num;
　　num=0;
　　for(i=1;i<n;i++){
　　temp=0;
　　for(int j=i+1;j<=n;j++){
　　if(s[j]<s[i]) temp++;
　　}
　　num+=fac[n-i]*temp;
　　}
　　return (num+1);