朴素贝叶斯（naive bayes）算法及实现
处女文献给我最喜欢的算法了 ⊙▽⊙
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[important]
阅读之前你需要了解：1、概率论与数理统计基础
2、基本的模式识别概念
[begin]
贝叶斯决策论是模式分类问题最基础的概念，其中朴素贝叶斯更是由于其简洁成为学习模式分类问题的基础。
朴素贝叶斯的理论基础：源于概率论中的贝叶斯公式:\(P(w_j|x)=\frac{p(x|w_j)P(w_j)}{p(x)}\),其中\(w_j\)代表类别\(j\)，\(x\)代表特征。
我们将\(P(w_j)\)称为先验概率，\(p(x|w_j)\)称为条件概率。
目的：对于一系列事物我们已知他们的特征向量\(X(x_1,x_2,x_3.....)\),以及他们一定属于类别集\(W=\{w_1,w_2,w_3.....\}\)中的某
一类，根据以上知识给出一个确定取值的特征向量\(X\)的事物，判断它的类别。
/*如：给定几个学生的特征及类别：
| 身高（cm） | 体重(kg) | 性别 |
| 171 | 56 | 男 |
| 168 | 48 | 女 |
| 175 | 55 | 男 |
| 165 | 50 | 女 |
根据以上知识，现在有一身高为169cm，体重49kg的学生，判断性别。
*/
思路：当前我们的知识只有有限个已知的特征及类别（我们称之为训练集），根据他们来判断给定特征集合的类别（我
们称之为测试集）
step1：假设我们已知学生中的男女比例为2：1，那么当我们遇到一个学生是男生的概率是2/3，女生的概率
是1/3。这是我们唯一可以利用的信息，当新来一个同学时，在观察之前需要我们立即给出判断，那么我们似乎可
以遵循这样的判别规则：若\(P(w|_{w=男})>P(w|_{w=女})\),则判定为男，否则判定为女。在一次判断中，
这种规则是合理的，但当我们进行多次判断时，会发现会一直得到相同的结果。显然，单一的判断条件并不能给我
们有效的解决问题的方法。
step2：在实际的判断过程中我们并不会只利用单一的信息，我们再引入学生的身高信息，来提高我们判断的
准确性。假定身高x是一个连续的随机变量，其分布取决于性别的状态，表示成\(p(x|w)\),这就是条件概率密度函数。
表示类别为w时x的概率密度函数。因此，\(p(x|w_{w=男})\)与\(p(x|w_{w=女})\)的区别就表示了男生与女
生在身高上的区别。
step3:现在，假设我们已经知道了先验概率\(p(w1)\),\(p(w2)\)/*\(w_1\)代表男生类别，\(w_2\)代表女
生类别*/,也知道了条件概率密度\(p(x|w_j)(j=1,2)\)。那么处于类别\(w_j\),并具有特征值x的模式的联合概率
密度我们可以写成以下形式\(p(w_j,x)=P(w_j|x)p(x)=p(x|w_j)P(w_j)\),整理上式，我们就可以得到贝叶斯公
式\(P(w_j|x)=\frac{p(x|w_j)P(w_j)}{p(x)}\)。在两类问题中\(p(x)=\sum_{j=1}^{2}{p(x|w_j)P(w_j)}\)，
这就是贝叶斯公式在分类问题中的解释。
step4:观察贝叶斯公式我们可以发现 ，通过观测x的值我们可以将先验概率\(P(w_j)\)转化为后验概率的形式\(P(w_j|x)\)
即假设特征值x已知的条件下类别属于\(w_j\)的概率。我们又称\(p(x|w_j)\)为\(w_j\)关于\(x\)的似然函数，即
在其他条件都相等的情况下，使得\(p(x|w_j)\)取值较大的\(w_j\)更有可能是真是类别。
/*重点理解\(p(x|w_j)\)与\(p(w_j|x)\)的含义：
\(p(x|w_j)\)表示已知类别为\(w_j\)的前提下，特征为\(X\)的概率。是分类之前的已知知识，成为条件概率。
\(p(w_j|x)\)表示已知特征向量为\(X\)，求其属于类别\(w_j\)的概率。是分类的判断条件，成为后验概率。
*/
解决方法：
有了上面的铺垫，我们现在可以尝试解决分类的问题。
step1：要根据输入的对象特征向量\(X\)来判断其类别，假设我们已经建立了一个判别函数\(g_i(x)\)/*表示
特征向量为类别\(i\)的可能性*/，那么显然我们可以令\(g_i(x)=p(w_i|x)=\frac{p(x|w_j)P(w_j)}{p(x)}\)
对每一个类别\(w_j\)我们可以分别计算其\(g(x)\)的取值。还可以得出判别规则为：若\(g_i(x)>g_j(x)\),则判为
\(w_i\)，否则判为\(w_j\)。
step2:由概率论知识我们还可以将\(g_i(x)\)简化为\(g_i(x)=p(x|w_j)P(w_j)\)的形式/*或者用其对数式表
示\(g_i(x)=lnp(x|w_j)+lnP(w_j)\),效果相同*/。然后根据判断条件找出最符合的类别。
到这里就结束了吗？nonononono，上面的理论只能称之为贝叶斯理论，他还不够“朴素”。
step3:概率论中我们有这样的结论：对于\(p(a,b,c)\),若a,b,c互相独立，则有\(p(a,b,c)=p(a)p(b)p(c)\)。
那么，在我们的\(g_i(x)\)中我们也假设特征向量\(X\)中的每一个\(x_j\)也互相独立，那么就有\(g_i(x)=P(w_j)\prod_{j=1}^{n}p(x_j|w_i)\)
这便是朴素贝叶斯的表达式。
/*
下面我们可以解决学生的性别判断问题了：
设身高用\(x_1\)表示，体重用\(x_2\)表示
那么根据训练集知识，我们可以分别求出\(p(x_1|w_j)\)和\(p(x_2|w_j)\)在所有类别下的概率分布，然后对
于任意给定的特征向量\(X=(x_1,x_2)\),求出\(max\{P(w_i)\prod_{j=1}^{n}p(x_i|w_j)\}\)对应的最大类别\(i\),即
就是特征向量\(X\)的朴素贝叶斯预测类别。
*/
意义：
"模式识别中的贝叶斯理论由于其权威性、一致性和典雅性而被列为最优美的科学公式之一。"
在模式分类，数据挖掘等领域中，贝叶斯理论占据着重要地位，而朴素贝叶斯理论更是在实践中有着重要应用。作为一个
理论，从统计学的观点出发，讨论出了具有指导意义的方法。其背后的哲学意义也发人深省（感兴趣的同学可以深入探讨）。
不足：
贝叶斯理论比较依赖于先验知识，对于先验知识模糊或缺失的情况还需要其他理论作补充（可以想想为什么）。
朴素贝叶斯理论的条件独立假设在实际中会影响判断结果，尤其是特征之间相关度较高的时候。（有没有解决的方法）。
实现：（第一次写文章，没想到断断续续写了好久，看来还是太年轻=_=,实现后面再补吧）
[end]
收获：梳理了一遍朴素贝叶斯的知识，写文章时顺遍学习了LaTex语法编辑公式。
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参考资料：模式分类（Pattern Classification）第二版，（美）Richard O.Duda ，机械工业出版社
