弱题

题目描述

有M个球，一开始每个球均有一个初始标号，标号范围为1～N且为整数，标号为i的球有ai个，并保证Σai = M。

每次操作等概率取出一个球（即取出每个球的概率均为1/M），若这个球标号为k（k < N），则将它重新标号为k + 1；若这个球标号为N，则将其重标号为1。（取出球后并不将其丢弃）

现在你需要求出，经过K次这样的操作后，每个标号的球的期望个数。

 

输入

第1行包含三个正整数N，M，K，表示了标号与球的个数以及操作次数。

第2行包含N个非负整数ai，表示初始标号为i的球有ai个。

 

 

输出

应包含N行，第i行为标号为i的球的期望个数，四舍五入保留3位小数。

 

样例输入

2 3 2
3 0
 

样例输出

1.667
1.333
 

提示

【样例说明】

第1次操作后，由于标号为2球个数为0，所以必然是一个标号为1的球变为标号为2的球。所以有2个标号为1的球，有1个标号为2的球。
第2次操作后，有1/3的概率标号为2的球变为标号为1的球（此时标号为1的球有3个），有2/3的概率标号为1的球变为标号为2的球（此时标号为1的球有1个），所以标号为1的球的期望个数为1/3*3+2/3*1 = 5/3。同理可求出标号为2的球期望个数为4/3。


【数据规模与约定】

对于10%的数据，N ≤ 5, M ≤ 5, K ≤ 10；
对于20%的数据，N ≤ 20, M ≤ 50, K ≤ 20；
对于30%的数据，N ≤ 100, M ≤ 100, K ≤ 100；
对于40%的数据，M ≤ 1000, K ≤ 1000；
对于100%的数据，N ≤ 1000, M ≤ 100,000,000, K ≤ 2,147,483,647。

 

【题解】

         一个递推型的概率题，和小朋友排排坐分享水果差不多……考试的时候打出来递推，就知道应该拿矩阵优化，但是身体不大舒服就没有打。后来惊奇的发现居然也有矩阵过不了的题，需要优化*优化才能过？！这个题每个点都只与一前一后两个点有关，f[i]=(m-1)/m*f[i]+1/m*f[i-1]，构造出的矩阵是一个循环矩阵，只要只要其中的一维就可以推出其他位置。所以二维矩阵直接退化为一维数组，快速幂时只找需要的相应位置就可以了。hzwer的代码写得非常优美，%%%。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int sj=1005;
int n,m,k,a[sj];
double ans[sj],b[sj],q[sj];
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
       scanf("%d",&a[i]);
    ans[0]=1;
    b[0]=1.0-1.0/m;
    b[1]=1.0/m;
    while(k)
    {
       if(k&1) 
       { 
         memset(q,0,sizeof(q));
         for(int i=0;i<n;i++)
           for(int j=0;j<n;j++)
             q[i]+=ans[(i-j+n)%n]*b[j];
         memcpy(ans,q,sizeof(q)); 
       }     
       k>>=1;
       memset(q,0,sizeof(q));
       for(int i=0;i<n;i++)
         for(int j=0;j<n;j++)
           q[i]+=b[(i-j+n)%n]*b[j];
       memcpy(b,q,sizeof(q));
    }
    memset(q,0,sizeof(q));
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=0;j<n;j++)
      {
           int t=(i+j)%n;
           if(!t) t=n;
           q[t]+=ans[j]*a[i];
      }
    for(int i=1;i<=n;i++)
       printf("%.3lf\n",q[i]);
    return 0;
}