系列简介
记得小时候读过一本关于计算机图形学(computer graphics, CG)的入门书，从此就爱上了CG。本系列希望，采用很多人认识的JavaScript语言去分享CG，令更多人有机会接触，并爱上CG。
本系列的特点之一，是读者能在浏览器里直接执行代码，也可重覆修改代码测试。透过这种互动，也许能更深刻体会内容。读者只要懂得JavaScript(因为JavaScript很简单，学过Java/C/C++/C#之类的语言也应没问题)和一点点线性代数(linear algebra)就可以了。
笔者在大学期间并没有修读CG课程，虽然看过相关书籍，始终未亲手做过全域光照的渲染器，本文也作为个人的学习分享。此外，笔者也差不多十年没接触JavaScript，希望各位不吝赐教。
本文简介
多数程序员听到3D CG，就会联想到Direct3D、OpenGL等API。事实上，这些流行的API主要为实时渲染(real-time rendering)而设，一般采用光栅化(rasterization)方式，渲染大量的三角形(或其他几何图元种类(primitive types))。这种基于光栅化的渲染系统，只支持局部光照(local illumination)。换句话说，渲染几何图形的一个像素时，光照计算只能取得该像素的资讯，而不能访问其他几何图形资讯。理论上，阴影(shadow)、反射(reflection)、折射(refraction)等为全局光照(global illumination)效果，实际上，栅格化渲染系统可以使用预处理(如阴影贴图(shadow mapping)、环境贴图(environment mapping))去模拟这些效果。
全局光照计算量大，一般也没有特殊硬件加速(通常只使用CPU而非GPU)，所以只适合离线渲染(offline rendering)，例如3D Studio Max、Maya等工具。其中一个支持全局光照的方法，称为光线追踪(ray tracing)。光线追踪能简单直接地支持阴影、反射、折射，实现起来亦非常容易。本文的例子里，只用了数十行JavaScript代码(除canvas外不需要其他特殊插件和库)，就能实现一个支持反射的光线追踪渲染器。光线追踪可以用来学习很多计算机图形学的课题，也许比学习Direct3D/OpenGL更容易。现在，先介绍点理论吧。
光线追踪
光栅化渲染，简单地说，就是把大量三角形画到屏幕上。当中会采用深度缓冲(depth buffer, z-buffer)，来解决多个三角形重叠时的前后问题。三角形数目影响效能，但三角形在屏幕上的总面积才是主要瓶颈。
光线追踪，简单地说，就是从摄影机的位置，通过影像平面上的像素位置(比较正确的说法是取样(sampling)位置)，发射一束光线到场景，求光线和几何图形间最近的交点，再求该交点的著色。如果该交点的材质是反射性的，可以在该交点向反射方向继续追踪。光线追踪除了容易支持一些全局光照效果外，亦不局限于三角形作为几何图形的单位。任何几何图形，能与一束光线计算交点(intersection point)，就能支持。
上图(來源)显示了光线追踪的基本方式。要计算一点是否在阴影之内，也只须发射一束光线到光源，检测中间有没有障碍物而已。不过光源和阴影留待下回分解。
初试画板
光线追踪的输出只是一个影像(image)，所谓影像，就是二维颜色数组。
要在浏览器内，用JavaScript生成一个影像，目前可以使用HTML 5的<canvas>。但现时Internet Explorer(直至版本8)还不支持<canvas>，其他浏览器如Chrome、Firefox、Opera等就可以。
以下是一个简单的实验，把每个象素填入颜色，左至右越来越红，上至下越来越绿。
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左邊的canvas定義如下:
<canvas width="256" height="256" id="testCanvas"></canvas>
修改代码试试看
- 把第三个pixels[i++] = 0 改为255 (即蓝色全开)
- 把第四个pixels[i++] = 255 改为128 (alpha=128)
- 可以只修改两个for循环里面的代码，画一个国际象棋棋盘么?
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这实验说明，从canvas取得的影像资料canvas.getImageData(...).data是个一维数组，该数组每四个元素代表一个象素(按红, 绿, 蓝, alpha排列)，这些象素在影像中从上至下、左至右排列。
解决实验平台的技术问题后，可开始从基础类别开始实现。
基础类
笔者使用基于物件(object-based)的方式编写JavaScript。
三维向量
三维向量(3D vector)可谓CG里最常用型别了。这里三维向量用Vector3类实现，用(x, y, z)表示。 Vector3亦用来表示空间中的点(point)，而不另建类。先看代码：
Vector3 = function(x, y, z) { this.x = x; this.y = y; this.z = z; };
Vector3.prototype = {
copy : function() { return new Vector3(this.x, this.y, this.z); },
length : function() { return Math.sqrt(this.x * this.x + this.y * this.y + this.z * this.z); },
sqrLength : function() { return this.x * this.x + this.y * this.y + this.z * this.z; },
normalize : function() { var inv = 1/this.length(); return new Vector3(this.x * inv, this.y * inv, this.z * inv); },
negate : function() { return new Vector3(-this.x, -this.y, -this.z); },
add : function(v) { return new Vector3(this.x + v.x, this.y + v.y, this.z + v.z); },
subtract : function(v) { return new Vector3(this.x - v.x, this.y - v.y, this.z - v.z); },
multiply : function(f) { return new Vector3(this.x * f, this.y * f, this.z * f); },
divide : function(f) { var invf = 1/f; return new Vector3(this.x * invf, this.y * invf, this.z * invf); },
dot : function(v) { return this.x * v.x + this.y * v.y + this.z * v.z; },
cross : function(v) { return new Vector3(-this.z * v.y + this.y * v.z, this.z * v.x - this.x * v.z, -this.y * v.x + this.x * v.y); }
};
Vector3.zero = new Vector3(0, 0, 0);
这些类方法(如normalize、negate、add等)，如果传回Vector3类对象，都会传回一个新建构的Vector3。这些三维向量的功能很简单，不在此详述。注意multiply和divide是与纯量(scalar)相乘和相除。
Vector3.zero用作常量，避免每次重新构建。值得一提，这些常量必需在prototype设定之后才能定义。
光线
所谓光线(ray)，从一点向某方向发射也。数学上可用参数函数(parametric function)表示：
\mathbf{r}(t) = \mathbf{o} + t\mathbf{d}, t \geq 0
当中，o即发谢起点(origin)，d为方向。在本文的例子里，都假设d为单位向量(unit vector)，因此t为距离。实现如下：
Ray3 = function(origin, direction) { this.origin = origin; this.direction = direction; }
Ray3.prototype = {
getPoint : function(t) { return this.origin.add(this.direction.multiply(t)); }
};
球体
球体(sphere)是其中一个最简单的立体几何图形。这里只考虑球体的表面(surface)，中心点为c、半径为r的球体表面可用等式(equation)表示：
\left \| \mathbf{x} - \mathbf{c} \right \| = r
如前文所述，需要计算光线和球体的最近交点。只要把光线x = r(t)代入球体等式，把该等式求解就是交点。为简化方程，设v=o - c，则:
\begin{align*} \left\| \mathbf{v} +t\mathbf{d} \right\| &= r \\ \left\| \mathbf{v} +t\mathbf{d} \right\|^2 &= r^2 \\ (\mathbf{v}+t\mathbf{d}) \cdot (\mathbf{v}+t\mathbf{d}) - r^2 &= 0 \\ \mathbf{v}^2 + 2t(\mathbf{d} \cdot \mathbf{v}) +t^2 \mathbf{d}^2 - r^2 &= 0 \\ (\mathbf{d}^2)t^2 + (2\mathbf{d} \cdot \mathbf{v})t + (\mathbf{v}^2 - r^2) &= 0 \end{align*}
因为d为单位向量，所以二次方的系数可以消去。 t的二次方程式的解为
\begin{align*} t&=\frac{-2\mathbf{d} \cdot \mathbf{v}\pm \sqrt{(2\mathbf{d} \cdot \mathbf{v})^2 - 4(\mathbf{v}^ 2 - r^2)} }{2} \\ &= -\mathbf{d} \cdot \mathbf{v}\pm \sqrt{(\mathbf{d} \cdot \mathbf{v})^2 - (\mathbf {v}^2 - r^2)} \end{align*}
若根号内为负数，即相交不发生。另外，由于这里只需要取最近的交点，因此正负号只需取负号。代码实现如下：
Sphere = function(center, radius) { this.center = center; this.radius = radius; };
Sphere.prototype = {
copy : function() { return new Sphere(this.center.copy(), this.radius.copy()); },
initialize : function() {
this.sqrRadius = this.radius * this.radius;
},
intersect : function(ray) {
var v = ray.origin.subtract(this.center);
var a0 = v.sqrLength() - this.sqrRadius;
var DdotV = ray.direction.dot(v);
if (DdotV <= 0) {
var discr = DdotV * DdotV - a0;
if (discr >= 0) {
var result = new IntersectResult();
result.geometry = this;
result.distance = -DdotV - Math.sqrt(discr);
result.position = ray.getPoint(result.distance);
result.normal = result.position.subtract(this.center).normalize();
return result;
}
}
return IntersectResult.noHit;
}
};
实现代码时，尽快用最少的运算剔除没相交的情况(Math.sqrt是比较慢的函数)。另外，预计算了球体半径r的平方，此为一个优化。
这里用到一个IntersectResult类，这个类只用来记录交点的几何物件(geometry)、距离(distance)、位置(position)和法向量(normal)。 IntersectResult.noHit的geometry为null，代表光线没有和任何几何物件相交。
IntersectResult = function() {
this.geometry = null;
this.distance = 0;
this.position = Vector3.zero;
this.normal = Vector3.zero;
};
IntersectResult.noHit = new IntersectResult();
摄影机
摄影机在光线追踪系统里，负责把影像的取样位置，生成一束光线。
由于影像的大小是可变的(多少像素宽x多少像素高)，为方便计算，这里设定一个统一的取样座标(sx, sy)，以左下角为(0,0)，右上角为(1 ,1)。
从数学角度来说，摄影机透过投影(projection)，把三维空间投射到二维空间上。常见的投影有正投影(orthographic projection)、透视投影(perspective projection)等等。这里首先实现透视投影。 ]]>
透视摄影机
透视摄影机比较像肉眼和真实摄影机的原理，能表现远小近大的观察方式。透视投影从视点(view point/eye position)，向某个方向观察场景，观察的角度范围称为视野(field of view, FOV)。除了定义观察的向前(forward)是那个方向，还需要定义在影像平面中，何谓上下和左右。为简单起见，暂时不考虑宽高不同的影像，FOV同时代表水平和垂直方向的视野角度。
上图显示，从摄影机上方显示的几个参数。 forward和right分别是向前和向右的单位向量。
因为视点是固定的，光线的起点不变。要生成光线，只须用取样座标(sx, sy)计算其方向d。留意FOV和s的关系为：
\tan \frac{FOV}{2} = s
把sx从[0, 1]映射到[-1,1]，就可以用right向量和s，来计算r向量，代码如下:
PerspectiveCamera = function(eye, front, up, fov) { this.eye = eye; this.front = front; this.refUp = up; this.fov = fov; };
PerspectiveCamera.prototype = {
initialize : function() {
this.right = this.front.cross(this.refUp);
this.up = this.right.cross(this.front);
this.fovScale = Math.tan(this.fov * 0.5 * Math.PI / 180) * 2;
},
generateRay : function(x, y) {
var r = this.right.multiply((x - 0.5) * this.fovScale);
var u = this.up.multiply((y - 0.5) * this.fovScale);
return new Ray3(this.eye, this.front.add(r).add(u).normalize());
}
};
代码中fov为度数，转为弧度才能使用Math.tan()。另外，fovScale预先乘了2，因为sx映射到[-1,1]每次都要乘以2。 sy和sx的做法一样，把两个在影像平面的向量，加上forward向量，就成为光线方向d。因之后的计算需要，最后把d变成单位向量。
渲染测试
写了Vector3、Ray3、Sphere、IntersectResult、Camera五个类之后，终于可以开始渲染一点东西出来！
基本的做法是遍历影像的取样座标(sx, sy)，用Camera把(sx, sy)转为Ray3，和场景(例如Sphere)计算最近交点，把该交点的属性转为颜色，写入影像的相对位置里。
把不同的属性渲染出来，是CG编程里经常用的测试和调试手法。笔者也是用此方法，修正了一些错误。
渲染深度
深度(depth)就是从IntersectResult取得最近相交点的距离，因深度的范围是从零至无限，为了把它显示出来，可以把它的一个区间映射到灰阶。这里用[0, maxDepth]映射至[255, 0]，即深度0的像素为白色，深度达maxDepth的像素为黑色。
// renderDepth.htm
function renderDepth(canvas, scene, camera, maxDepth) {
// 从canvas取得imgdata和pixels，跟之前的代码一样
// ...
scene.initialize();
camera.initialize();
var i = 0;
for (var y = 0; y < h; y++) {
var sy = 1 - y / h;
for (var x = 0; x < w; x++) {
var sx = x / w;
var ray = camera.generateRay(sx, sy);
var result = scene.intersect(ray);
if (result.geometry) {
var depth = 255 - Math.min((result.distance / maxDepth) * 255, 255);
pixels[i ] = depth;
pixels[i + 1] = depth;
pixels[i + 2] = depth;
pixels[i + 3] = 255;
}
i += 4;
}
}
ctx.putImageData(imgdata, 0, 0);
}
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这里的观看方向是，正X轴向右，正Y轴向上，正Z轴向后。
修改代码试试看
- 改变球体的位置
- 改变球体的半径
- 改变fov(PerspectiveCamera最后的参数)
- 改变maxDepth(renderDepth最后的参数)
- 改变摄影机的方向，例如向左转一点点(记得要是单位向量啊!可以用new Vector(...).normalize())
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渲染法向量
相交测试也计算了几何物件在相交位置的法向量，这里也可把它视觉化。法向量是一个单位向量，其每个元素的范围是[-1, 1]。把单位向量映射到颜色的常用方法为，把(x, y, z)映射至(r, g, b)，范围从[-1, 1]映射至[0, 255]。
// renderNormal.htm
function renderNormal(canvas, scene, camera) {
// ...
if (result.geometry) {
pixels[i ] = (result.normal.x + 1) * 128;
pixels[i + 1] = (result.normal.y + 1) * 128;
pixels[i + 2] = (result.normal.z + 1) * 128;
pixels[i + 3] = 255;
}
// ...
}
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球体上方的法向量是接近(0, 1, 0)，所以是浅绿色(0.5, 1, 0.5)。
修改代码试试看
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材质
渲染深度和法向量只为测试和调试，要显示物件的"真实"颜色，需要定义该交点向某方向(如往视点的方向)发出的光的颜色，称之为几个图形的材质(material )。
材质的接口为function sample(ray, posiiton, normal) ，传回颜色Color的对象。这是个极简陋的接口，临时做一些效果出来，有机会再详谈。
颜色
颜色在CG里最简单是用红、绿、蓝三个通道(color channel)。为实现简单的Phong材质，还加入了对颜色的简单操作。
Color = function(r, g, b) { this.r = r; this.g = g; this.b = b };
Color.prototype = {
copy : function() { return new Color(this.r, this.g, this.b); },
add : function(c) { return new Color(this.r + c.r, this.g + c.g, this.b + c.b); },
multiply : function(s) { return new Color(this.r * s, this.g * s, this.b * s); },
modulate : function(c) { return new Color(this.r * c.r, this.g * c.g, this.b * c.b); }
};
Color.black = new Color(0, 0, 0);
Color.white = new Color(1, 1, 1);
Color.red = new Color(1, 0, 0);
Color.green = new Color(0, 1, 0);
Color.blue = new Color(0, 0, 1);
这Color类很像Vector3类，值得留意的是，颜色有调制(modulate)操作，其意义为两个颜色中每个颜色通道相乘。
格子材质
CG世界里，国际象棋棋盘是最常见的测试用纹理(texture)。这里不考虑纹理贴图(texture mapping)的问题，只凭(x, z)坐标计算某位置发出黑色或白色的光(黑色的光不叫光吧，哈哈)。
CheckerMaterial = function(scale, reflectiveness) { this.scale = scale; this.reflectiveness = reflectiveness; };
CheckerMaterial.prototype = {
sample : function(ray, position, normal) {
return Math.abs((Math.floor(position.x * 0.1) + Math.floor(position.z * this.scale)) % 2) < 1 ? Color.black : Color.white;
}
};
代码中scale的意义为1坐标单位有多少个格子，例如scale=0.1即一个格子的大小为10x10。
Phong材质
这里实现简单的Phong材质，因为未有光源系统，只用全域变量设置一个临时的光源方向，并只计算漫射(diffuse)和镜射(specular)。
PhongMaterial = function(diffuse, specular, shininess, reflectiveness) {
this.diffuse = diffuse;
this.specular = specular;
this.shininess = shininess;
this.reflectiveness = reflectiveness;
};
// global temp
var lightDir = new Vector3(1, 1, 1).normalize();
var lightColor = Color.white;
PhongMaterial.prototype = {
sample: function(ray, position, normal) {
var NdotL = normal.dot(lightDir);
var H = (lightDir.subtract(ray.direction)).normalize();
var NdotH = normal.dot(H);
var diffuseTerm = this.diffuse.multiply(Math.max(NdotL, 0));
var specularTerm = this.specular.multiply(Math.pow(Math.max(NdotH, 0), this.shininess));
return lightColor.modulate(diffuseTerm.add(specularTerm));
}
};
Phong的内容不在此述。
渲染材质
修改之前的渲染代码，当碰到相交时，就向几何对象取得material属性，并调用sample方法函数取得颜色。
// rayTrace.htm
function rayTrace(canvas, scene, camera) {
// ...
if (result.geometry) {
var color = result.geometry.material.sample(ray, result.position, result.normal);
pixels[i] = color.r * 255;
pixels[i + 1] = color.g * 255;
pixels[i + 2] = color.b * 255;
pixels[i + 3] = 255;
}
// ...
}
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修改代码试试看
- 改变fov，有了格子地板效果应该很明显
- 改变CheckerMaterial的scale
- 把原来红色的球改为绿色
- 把原来红色的球改为黄色
- 改变shininess(PhongMaterial最后一个参数)
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多个几何物件
只渲染一个几何物件太乏味，这节再加入一个无限平面，和介绍如何组合多个几何物件。
平面
一个(无限)平面(Plane)在数学上可用等式定义:
\mathbf{n} \cdot \mathbf{x} = d
n为平面的法向量，d为空间原点至平面的最短距离。光线和平面的相交计算很简单，这里不详述了。
Plane = function(normal, d) { this.normal = normal; this.d = d; };
Plane.prototype = {
copy : function() { return new plane(this.normal.copy(), this.d); },
initialize : function() {
this.position = this.normal.multiply(this.d);
},
intersect : function(ray) {
var a = ray.direction.dot(this.normal);
if (a >= 0)
return IntersectResult.noHit;
var b = this.normal.dot(ray.origin.subtract(this.position));
var result = new IntersectResult();
result.geometry = this;
result.distance = -b / a;
result.position = ray.getPoint(result.distance);
result.normal = this.normal;
return result;
}
};
并集
把多个几何物件结合起来，可以使用集(set)的概念。这里最容易实现的操作，就是并集(union)，即光线要找到一组几个图形的最近交点。无需改其他代码，只加入一个Union类就可以：
Union = function(geometries) { this.geometries = geometries; };
Union.prototype = {
initialize: function() {
for (var i in this.geometries)
this.geometries[i].initialize();
},
intersect: function(ray) {
var minDistance = Infinity;
var minResult = IntersectResult.noHit;
for (var i in this.geometries) {
var result = this.geometries[i].intersect(ray);
if (result.geometry && result.distance < minDistance) {
minDistance = result.distance;
minResult = result;
}
}
return minResult;
}
};
可以看到，这里利用Javascript的多型(polymorphism)的特性，完全不用修改原来的代码，就可以扩展功能。
如前所述，这里只考虑几何几何图形的表面。如果考虑几何图形是实心的，就可以用构造实体几何(constructive solid geometry, CSG)方法，提供并集、交集、补集等操作。容后再谈。
反射
以上实现的，也只是局部照明。只要再加入一点点代码，就可以实现反射。
下图说明反射向量的计算方法:
把d投射到n上(因n是单位向量，只需要点乘即可)，就可以计算d在n上的长度，把d减去这长度两倍的法向量，就是反射向量r。数学上可写成:
\mathbf{r} = \mathbf{d} - 2(\mathbf{d \cdot n})\bf{n}"
一般材质并非完全反射(镜子除外)，因此这里为材质加上一个反射度(reflectiveness)的属性。反射的功能很简单，只要在碰到反射度非零的材质，就继续向反射方向追踪，并把结果按反射度来混合。例如一个材质的反射度为25%，则它传回的颜色是75%本身颜色，加上25%反射传回来的颜色。
另外，不断反射会做成大量的运算，甚至乎永远不能停止(考虑摄影机在两个镜子中间)。因此要限制反射的次数。含反射功能的光线追踪代码如下：
function rayTraceRecursive(scene, ray, maxReflect) {
var result = scene.intersect(ray);
if (result.geometry) {
var reflectiveness = result.geometry.material.reflectiveness;
var color = result.geometry.material.sample(ray, result.position, result.normal);
color = color.multiply(1 - reflectiveness);
if (reflectiveness > 0 && maxReflect > 0) {
var r = result.normal.multiply(-2 * result.normal.dot(ray.direction)).add(ray.direction);
ray = new Ray3(result.position, r);
var reflectedColor = rayTraceRecursive(scene, ray, maxReflect - 1);
color = color.add(reflectedColor.multiply(reflectiveness));
}
return color;
}
else
return Color.black;
}
function rayTraceReflection(canvas, scene, camera, maxReflect) {
// 从canvas取得imgdata和pixels，跟之前的代码一样
// ...
scene.initialize();
camera.initialize();
var i = 0;
for (var y = 0; y < h; y++) {
var sy = 1 - y / h;
for (var x = 0; x < w; x++) {
var sx = x / w;
var ray = camera.generateRay(sx, sy);
var color = rayTraceRecursive(scene, ray, maxReflect);
pixels[i++] = color.r * 255;
pixels[i++] = color.g * 255;
pixels[i++] = color.b * 255;
pixels[i++] = 255;
}
}
ctx.putImageData(imgdata, 0, 0);
}
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修改代码试试看
- 改变一个球的reflectiveness，试试0、1及之间的数值
- 改变maxReflect(rayTraceReflection最后一个参数)
- 加入更多的球体(可用for循环啊……不过小心渲染时间太长)
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结语
能体会到计算机图形学的有趣之处么？百多行简单的JavaScript代码，就绘画出像真的影像，那种满足感实非笔墨所能形容。
本文实现了一个简单的光线追踪渲染器，支持球体、平面、Phong材质、格子材质、多重反射等功能。读者可以下载这组代码，加入不同的扩展，也可以尝试翻译做熟悉的编程语言。很多光线追踪用到的计算机图形技术，也可以应用到实时图形编程里，例如光源和材质的计算，基本上可以简易翻译做实时图形的著色器(shader)编程。
游戏里采用光栅化渲染技术已有二十年以上，这几年的硬件发展，使其他渲染方法也能用于实时应用。光线追踪和其他类似的方法，有个当今重要优点，就是能高度平行化。采样之间并没有依赖性，例如256x256=65536个采样，理论上，可使用65536个机器/核心独立执行追踪，那么完成时间只是最慢的一个取样所需的时间。
笔者希望继续撰写这系列，例如包括以下内容:
- 其他几何图形(长方体、柱体、三角形、曲面、高度场、等值面、……)
- 光源(方向光源、点光源、聚光灯、阴影、ambient occlusion)
- 材质(Phong-Blinn、Oren-Nayar、Torrance-Sparrow、折射、 Fresnel、BRDF、BSDF……)
- 纹理(纹理座标、采样、Perlin noise)
- 摄影机模型(正投射、全景、景深)
- 成像流程(渐进渲染、反锯齿、后期处理)
- 优化方法(场景剖分、低阶优化)
- 其他全局光照渲染方法
祈望得到大家的意见反馈。
参考
更新
- 2010年3月31日，网友HouSisong把本文代码以C++实现，并完全保留了原设计，代码可於他的博文下载。