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用JavaScript玩转计算机图形学(一)光线追踪入门

2010-03-29 00:05 by Milo Yip, ... 阅读, ... 评论, 收藏, 编辑

系列简介

记得小时候读过一本关于计算机图形学(computer graphics, CG)的入门书,从此就爱上了CG。本系列希望,采用很多人认识的JavaScript语言去分享CG,令更多人有机会接触,并爱上CG。

本系列的特点之一,是读者能在浏览器里直接执行代码,也可重覆修改代码测试。透过这种互动,也许能更深刻体会内容。读者只要懂得JavaScript(因为JavaScript很简单,学过Java/C/C++/C#之类的语言也应没问题)和一点点线性代数(linear algebra)就可以了。

笔者在大学期间并没有修读CG课程,虽然看过相关书籍,始终未亲手做过全域光照的渲染器,本文也作为个人的学习分享。此外,笔者也差不多十年没接触JavaScript,希望各位不吝赐教。

本文简介

多数程序员听到3D CG,就会联想到Direct3D、OpenGL等API。事实上,这些流行的API主要为实时渲染(real-time rendering)而设,一般采用光栅化(rasterization)方式,渲染大量的三角形(或其他几何图元种类(primitive types))。这种基于光栅化的渲染系统,只支持局部光照(local illumination)。换句话说,渲染几何图形的一个像素时,光照计算只能取得该像素的资讯,而不能访问其他几何图形资讯。理论上,阴影(shadow)、反射(reflection)、折射(refraction)等为全局光照(global illumination)效果,实际上,栅格化渲染系统可以使用预处理(如阴影贴图(shadow mapping)、环境贴图(environment mapping))去模拟这些效果。

全局光照计算量大,一般也没有特殊硬件加速(通常只使用CPU而非GPU),所以只适合离线渲染(offline rendering),例如3D Studio Max、Maya等工具。其中一个支持全局光照的方法,称为光线追踪(ray tracing)。光线追踪能简单直接地支持阴影、反射、折射,实现起来亦非常容易。本文的例子里,只用了数十行JavaScript代码(除canvas外不需要其他特殊插件和库),就能实现一个支持反射的光线追踪渲染器。光线追踪可以用来学习很多计算机图形学的课题,也许比学习Direct3D/OpenGL更容易。现在,先介绍点理论吧。

光线追踪

光栅化渲染,简单地说,就是把大量三角形画到屏幕上。当中会采用深度缓冲(depth buffer, z-buffer),来解决多个三角形重叠时的前后问题。三角形数目影响效能,但三角形在屏幕上的总面积才是主要瓶颈。

光线追踪,简单地说,就是从摄影机的位置,通过影像平面上的像素位置(比较正确的说法是取样(sampling)位置),发射一束光线到场景,求光线和几何图形间最近的交点,再求该交点的著色。如果该交点的材质是反射性的,可以在该交点向反射方向继续追踪。光线追踪除了容易支持一些全局光照效果外,亦不局限于三角形作为几何图形的单位。任何几何图形,能与一束光线计算交点(intersection point),就能支持。

上图(來源)显示了光线追踪的基本方式。要计算一点是否在阴影之内,也只须发射一束光线到光源,检测中间有没有障碍物而已。不过光源和阴影留待下回分解。

初试画板

光线追踪的输出只是一个影像(image),所谓影像,就是二维颜色数组。

要在浏览器内,用JavaScript生成一个影像,目前可以使用HTML 5的<canvas>。但现时Internet Explorer(直至版本8)还不支持<canvas>,其他浏览器如Chrome、Firefox、Opera等就可以。

以下是一个简单的实验,把每个象素填入颜色,左至右越来越红,上至下越来越绿。

 

左邊的canvas定義如下:

<canvas width="256" height="256" id="testCanvas"></canvas>

修改代码试试看

  • 把第三个pixels[i++] = 0 改为255 (即蓝色全开)
  • 把第四个pixels[i++] = 255 改为128 (alpha=128)
  • 可以只修改两个for循环里面的代码,画一个国际象棋棋盘么?

这实验说明,从canvas取得的影像资料canvas.getImageData(...).data是个一维数组,该数组每四个元素代表一个象素(按红, 绿, 蓝, alpha排列),这些象素在影像中从上至下、左至右排列。

解决实验平台的技术问题后,可开始从基础类别开始实现。

基础类

笔者使用基于物件(object-based)的方式编写JavaScript。

三维向量

三维向量(3D vector)可谓CG里最常用型别了。这里三维向量用Vector3类实现,用(x, y, z)表示。 Vector3亦用来表示空间中的点(point),而不另建类。先看代码:

Vector3 = function(x, y, z) { this.x = x; this.y = y; this.z = z; };

Vector3.prototype = {
    copy : function() { return new Vector3(this.x, this.y, this.z); },
    length : function() { return Math.sqrt(this.x * this.x + this.y * this.y + this.z * this.z); },
    sqrLength : function() { return this.x * this.x + this.y * this.y + this.z * this.z; },
    normalize : function() { var inv = 1/this.length(); return new Vector3(this.x * inv, this.y * inv, this.z * inv); },
    negate : function() { return new Vector3(-this.x, -this.y, -this.z); },
    add : function(v) { return new Vector3(this.x + v.x, this.y + v.y, this.z + v.z); },
    subtract : function(v) { return new Vector3(this.x - v.x, this.y - v.y, this.z - v.z); },
    multiply : function(f) { return new Vector3(this.x * f, this.y * f, this.z * f); },
    divide : function(f) { var invf = 1/f; return new Vector3(this.x * invf, this.y * invf, this.z * invf); },
    dot : function(v) { return this.x * v.x + this.y * v.y + this.z * v.z; },
    cross : function(v) { return new Vector3(-this.z * v.y + this.y * v.z, this.z * v.x - this.x * v.z, -this.y * v.x + this.x * v.y); }
};

Vector3.zero = new Vector3(0, 0, 0);

这些类方法(如normalize、negate、add等),如果传回Vector3类对象,都会传回一个新建构的Vector3。这些三维向量的功能很简单,不在此详述。注意multiply和divide是与纯量(scalar)相乘和相除。

Vector3.zero用作常量,避免每次重新构建。值得一提,这些常量必需在prototype设定之后才能定义。

光线

所谓光线(ray),从一点向某方向发射也。数学上可用参数函数(parametric function)表示:

\mathbf{r}(t) = \mathbf{o} + t\mathbf{d}, t \geq 0

当中,o即发谢起点(origin),d为方向。在本文的例子里,都假设d为单位向量(unit vector),因此t为距离。实现如下:

Ray3 = function(origin, direction) { this.origin = origin; this.direction = direction; }

Ray3.prototype = {
    getPoint : function(t) { return this.origin.add(this.direction.multiply(t)); }
};

球体

球体(sphere)是其中一个最简单的立体几何图形。这里只考虑球体的表面(surface),中心点为c、半径为r的球体表面可用等式(equation)表示:

\left \| \mathbf{x} - \mathbf{c} \right \| = r

如前文所述,需要计算光线和球体的最近交点。只要把光线x = r(t)代入球体等式,把该等式求解就是交点。为简化方程,设v=o - c,则:

\begin{align*} \left\| \mathbf{v} +t\mathbf{d} \right\| &= r \\ \left\| \mathbf{v} +t\mathbf{d} \right\|^2 &= r^2 \\ (\mathbf{v}+t\mathbf{d}) \cdot (\mathbf{v}+t\mathbf{d}) - r^2 &= 0 \\ \mathbf{v}^2 + 2t(\mathbf{d} \cdot \mathbf{v}) +t^2 \mathbf{d}^2 - r^2 &= 0 \\ (\mathbf{d}^2)t^2 + (2\mathbf{d} \cdot \mathbf{v})t + (\mathbf{v}^2 - r^2) &= 0 \end{align*}

因为d为单位向量,所以二次方的系数可以消去。 t的二次方程式的解为

\begin{align*} t&=\frac{-2\mathbf{d} \cdot \mathbf{v}\pm \sqrt{(2\mathbf{d} \cdot \mathbf{v})^2 - 4(\mathbf{v}^ 2 - r^2)} }{2} \\ &= -\mathbf{d} \cdot \mathbf{v}\pm \sqrt{(\mathbf{d} \cdot \mathbf{v})^2 - (\mathbf {v}^2 - r^2)} \end{align*}

若根号内为负数,即相交不发生。另外,由于这里只需要取最近的交点,因此正负号只需取负号。代码实现如下:

Sphere = function(center, radius) { this.center = center; this.radius = radius; };

Sphere.prototype = {
    copy : function() { return new Sphere(this.center.copy(), this.radius.copy()); },

    initialize : function() {
        this.sqrRadius = this.radius * this.radius;
    },

    intersect : function(ray) {
        var v = ray.origin.subtract(this.center);
        var a0 = v.sqrLength() - this.sqrRadius;
        var DdotV = ray.direction.dot(v);

        if (DdotV <= 0) {
            var discr = DdotV * DdotV - a0;
            if (discr >= 0) {
                var result = new IntersectResult();
                result.geometry = this;
                result.distance = -DdotV - Math.sqrt(discr);
                result.position = ray.getPoint(result.distance);
                result.normal = result.position.subtract(this.center).normalize();
                return result;
            }
        }

        return IntersectResult.noHit;
    }
};

实现代码时,尽快用最少的运算剔除没相交的情况(Math.sqrt是比较慢的函数)。另外,预计算了球体半径r的平方,此为一个优化。

这里用到一个IntersectResult类,这个类只用来记录交点的几何物件(geometry)、距离(distance)、位置(position)和法向量(normal)。 IntersectResult.noHit的geometry为null,代表光线没有和任何几何物件相交。

IntersectResult = function() {
    this.geometry = null;
    this.distance = 0;
    this.position = Vector3.zero;
    this.normal = Vector3.zero;
};

IntersectResult.noHit = new IntersectResult();

摄影机

摄影机在光线追踪系统里,负责把影像的取样位置,生成一束光线。

由于影像的大小是可变的(多少像素宽x多少像素高),为方便计算,这里设定一个统一的取样座标(sx, sy),以左下角为(0,0),右上角为(1 ,1)。

从数学角度来说,摄影机透过投影(projection),把三维空间投射到二维空间上。常见的投影有正投影(orthographic projection)、透视投影(perspective projection)等等。这里首先实现透视投影。 ]]>

透视摄影机

透视摄影机比较像肉眼和真实摄影机的原理,能表现远小近大的观察方式。透视投影从视点(view point/eye position),向某个方向观察场景,观察的角度范围称为视野(field of view, FOV)。除了定义观察的向前(forward)是那个方向,还需要定义在影像平面中,何谓上下和左右。为简单起见,暂时不考虑宽高不同的影像,FOV同时代表水平和垂直方向的视野角度。

上图显示,从摄影机上方显示的几个参数。 forward和right分别是向前和向右的单位向量。

因为视点是固定的,光线的起点不变。要生成光线,只须用取样座标(sx, sy)计算其方向d。留意FOV和s的关系为:

\tan \frac{FOV}{2} = s

把sx从[0, 1]映射到[-1,1],就可以用right向量和s,来计算r向量,代码如下:

PerspectiveCamera = function(eye, front, up, fov) { this.eye = eye; this.front = front; this.refUp = up; this.fov = fov; };

PerspectiveCamera.prototype = {
    initialize : function() {
        this.right = this.front.cross(this.refUp);
        this.up = this.right.cross(this.front);
        this.fovScale = Math.tan(this.fov * 0.5 * Math.PI / 180) * 2;
    },

    generateRay : function(x, y) {
        var r = this.right.multiply((x - 0.5) * this.fovScale);
        var u = this.up.multiply((y - 0.5) * this.fovScale);
        return new Ray3(this.eye, this.front.add(r).add(u).normalize());
    }
};

代码中fov为度数,转为弧度才能使用Math.tan()。另外,fovScale预先乘了2,因为sx映射到[-1,1]每次都要乘以2。 sy和sx的做法一样,把两个在影像平面的向量,加上forward向量,就成为光线方向d。因之后的计算需要,最后把d变成单位向量。

渲染测试

写了Vector3、Ray3、Sphere、IntersectResult、Camera五个类之后,终于可以开始渲染一点东西出来!

基本的做法是遍历影像的取样座标(sx, sy),用Camera把(sx, sy)转为Ray3,和场景(例如Sphere)计算最近交点,把该交点的属性转为颜色,写入影像的相对位置里。

把不同的属性渲染出来,是CG编程里经常用的测试和调试手法。笔者也是用此方法,修正了一些错误。

渲染深度

深度(depth)就是从IntersectResult取得最近相交点的距离,因深度的范围是从零至无限,为了把它显示出来,可以把它的一个区间映射到灰阶。这里用[0, maxDepth]映射至[255, 0],即深度0的像素为白色,深度达maxDepth的像素为黑色。

// renderDepth.htm
function renderDepth(canvas, scene, camera, maxDepth) {
    // 从canvas取得imgdata和pixels,跟之前的代码一样
    // ...

    scene.initialize();
    camera.initialize();

    var i = 0;
    for (var y = 0; y < h; y++) {
        var sy = 1 - y / h;
        for (var x = 0; x < w; x++) {
            var sx = x / w;            
            var ray = camera.generateRay(sx, sy);
            var result = scene.intersect(ray);
            if (result.geometry) {
                var depth = 255 - Math.min((result.distance / maxDepth) * 255, 255);
                pixels[i    ] = depth;
                pixels[i + 1] = depth;
                pixels[i + 2] = depth;
                pixels[i + 3] = 255;
            }
            i += 4;
        }
    }

    ctx.putImageData(imgdata, 0, 0);
}

 

这里的观看方向是,正X轴向右,正Y轴向上,正Z轴向后。

修改代码试试看

  • 改变球体的位置
  • 改变球体的半径
  • 改变fov(PerspectiveCamera最后的参数)
  • 改变maxDepth(renderDepth最后的参数)
  • 改变摄影机的方向,例如向左转一点点(记得要是单位向量啊!可以用new Vector(...).normalize())

渲染法向量

相交测试也计算了几何物件在相交位置的法向量,这里也可把它视觉化。法向量是一个单位向量,其每个元素的范围是[-1, 1]。把单位向量映射到颜色的常用方法为,把(x, y, z)映射至(r, g, b),范围从[-1, 1]映射至[0, 255]。

// renderNormal.htm
function renderNormal(canvas, scene, camera) {
    // ...
            if (result.geometry) {
                pixels[i    ] = (result.normal.x + 1) * 128;
                pixels[i + 1] = (result.normal.y + 1) * 128;
                pixels[i + 2] = (result.normal.z + 1) * 128;
                pixels[i + 3] = 255;
            }
    // ...
}

 

球体上方的法向量是接近(0, 1, 0),所以是浅绿色(0.5, 1, 0.5)。

修改代码试试看

  • 从球体的正上方往下看

材质

渲染深度和法向量只为测试和调试,要显示物件的"真实"颜色,需要定义该交点向某方向(如往视点的方向)发出的光的颜色,称之为几个图形的材质(material )。

材质的接口为function sample(ray, posiiton, normal) ,传回颜色Color的对象。这是个极简陋的接口,临时做一些效果出来,有机会再详谈。

颜色

颜色在CG里最简单是用红、绿、蓝三个通道(color channel)。为实现简单的Phong材质,还加入了对颜色的简单操作。

Color = function(r, g, b) { this.r = r; this.g = g; this.b = b };

Color.prototype = {
    copy : function() { return new Color(this.r, this.g, this.b); },
    add : function(c) { return new Color(this.r + c.r, this.g + c.g, this.b + c.b); },
    multiply : function(s) { return new Color(this.r * s, this.g * s, this.b * s); },
    modulate : function(c) { return new Color(this.r * c.r, this.g * c.g, this.b * c.b); }
};

Color.black = new Color(0, 0, 0);
Color.white = new Color(1, 1, 1);
Color.red = new Color(1, 0, 0);
Color.green = new Color(0, 1, 0);
Color.blue = new Color(0, 0, 1);

这Color类很像Vector3类,值得留意的是,颜色有调制(modulate)操作,其意义为两个颜色中每个颜色通道相乘。

格子材质

CG世界里,国际象棋棋盘是最常见的测试用纹理(texture)。这里不考虑纹理贴图(texture mapping)的问题,只凭(x, z)坐标计算某位置发出黑色或白色的光(黑色的光不叫光吧,哈哈)。

CheckerMaterial = function(scale, reflectiveness) { this.scale = scale; this.reflectiveness = reflectiveness; };

CheckerMaterial.prototype = {
    sample : function(ray, position, normal) {
        return Math.abs((Math.floor(position.x * 0.1) + Math.floor(position.z * this.scale)) % 2) < 1 ? Color.black : Color.white;
    }
};

代码中scale的意义为1坐标单位有多少个格子,例如scale=0.1即一个格子的大小为10x10。

Phong材质

这里实现简单的Phong材质,因为未有光源系统,只用全域变量设置一个临时的光源方向,并只计算漫射(diffuse)和镜射(specular)。

PhongMaterial = function(diffuse, specular, shininess, reflectiveness) {
    this.diffuse = diffuse;
    this.specular = specular;
    this.shininess = shininess;
    this.reflectiveness = reflectiveness;
};

// global temp
var lightDir = new Vector3(1, 1, 1).normalize();
var lightColor = Color.white;

PhongMaterial.prototype = {
    sample: function(ray, position, normal) {
        var NdotL = normal.dot(lightDir);
        var H = (lightDir.subtract(ray.direction)).normalize();
        var NdotH = normal.dot(H);
        var diffuseTerm = this.diffuse.multiply(Math.max(NdotL, 0));
        var specularTerm = this.specular.multiply(Math.pow(Math.max(NdotH, 0), this.shininess));
        return lightColor.modulate(diffuseTerm.add(specularTerm));
    }
};

Phong的内容不在此述。

渲染材质

修改之前的渲染代码,当碰到相交时,就向几何对象取得material属性,并调用sample方法函数取得颜色。

// rayTrace.htm
function rayTrace(canvas, scene, camera) {
    // ...
            if (result.geometry) {
                var color = result.geometry.material.sample(ray, result.position, result.normal);
                pixels[i] = color.r * 255;
                pixels[i + 1] = color.g * 255;
                pixels[i + 2] = color.b * 255;
                pixels[i + 3] = 255;
            }
    // ...
}

 

修改代码试试看

  • 改变fov,有了格子地板效果应该很明显
  • 改变CheckerMaterial的scale
  • 把原来红色的球改为绿色
  • 把原来红色的球改为黄色
  • 改变shininess(PhongMaterial最后一个参数)

多个几何物件

只渲染一个几何物件太乏味,这节再加入一个无限平面,和介绍如何组合多个几何物件。

平面

一个(无限)平面(Plane)在数学上可用等式定义:

\mathbf{n} \cdot \mathbf{x} = d

n为平面的法向量,d为空间原点至平面的最短距离。光线和平面的相交计算很简单,这里不详述了。

Plane = function(normal, d) { this.normal = normal; this.d = d; };

Plane.prototype = {
    copy : function() { return new plane(this.normal.copy(), this.d); },

    initialize : function() {
        this.position = this.normal.multiply(this.d);
    },
    
    intersect : function(ray) {
        var a = ray.direction.dot(this.normal);
        if (a >= 0)
            return IntersectResult.noHit;

        var b = this.normal.dot(ray.origin.subtract(this.position));
        var result = new IntersectResult();
        result.geometry = this;
        result.distance = -b / a;
        result.position = ray.getPoint(result.distance);
        result.normal = this.normal;
        return result;
    }
};

并集

把多个几何物件结合起来,可以使用集(set)的概念。这里最容易实现的操作,就是并集(union),即光线要找到一组几个图形的最近交点。无需改其他代码,只加入一个Union类就可以:

Union = function(geometries) { this.geometries = geometries; };

Union.prototype = {
    initialize: function() {
        for (var i in this.geometries)
            this.geometries[i].initialize();
    },
    
    intersect: function(ray) {
        var minDistance = Infinity;
        var minResult = IntersectResult.noHit;
        for (var i in this.geometries) {
            var result = this.geometries[i].intersect(ray);
            if (result.geometry && result.distance < minDistance) {
                minDistance = result.distance;
                minResult = result;
            }
        }
        return minResult;
    }
};

可以看到,这里利用Javascript的多型(polymorphism)的特性,完全不用修改原来的代码,就可以扩展功能。

如前所述,这里只考虑几何几何图形的表面。如果考虑几何图形是实心的,就可以用构造实体几何(constructive solid geometry, CSG)方法,提供并集、交集、补集等操作。容后再谈。

反射

以上实现的,也只是局部照明。只要再加入一点点代码,就可以实现反射。

下图说明反射向量的计算方法:

把d投射到n上(因n是单位向量,只需要点乘即可),就可以计算d在n上的长度,把d减去这长度两倍的法向量,就是反射向量r。数学上可写成:

\mathbf{r} = \mathbf{d} - 2(\mathbf{d \cdot n})\bf{n}"

一般材质并非完全反射(镜子除外),因此这里为材质加上一个反射度(reflectiveness)的属性。反射的功能很简单,只要在碰到反射度非零的材质,就继续向反射方向追踪,并把结果按反射度来混合。例如一个材质的反射度为25%,则它传回的颜色是75%本身颜色,加上25%反射传回来的颜色。

另外,不断反射会做成大量的运算,甚至乎永远不能停止(考虑摄影机在两个镜子中间)。因此要限制反射的次数。含反射功能的光线追踪代码如下:

function rayTraceRecursive(scene, ray, maxReflect) {
    var result = scene.intersect(ray);
    
    if (result.geometry) {
        var reflectiveness = result.geometry.material.reflectiveness;
        var color = result.geometry.material.sample(ray, result.position, result.normal);
        color = color.multiply(1 - reflectiveness);
        
        if (reflectiveness > 0 && maxReflect > 0) {
            var r = result.normal.multiply(-2 * result.normal.dot(ray.direction)).add(ray.direction);
            ray = new Ray3(result.position, r);
            var reflectedColor = rayTraceRecursive(scene, ray, maxReflect - 1);
            color = color.add(reflectedColor.multiply(reflectiveness));
        }
        return color;
    }
    else
        return Color.black;
}

function rayTraceReflection(canvas, scene, camera, maxReflect) {
    // 从canvas取得imgdata和pixels,跟之前的代码一样
    // ...

    scene.initialize();
    camera.initialize();

    var i = 0;
    for (var y = 0; y < h; y++) {
        var sy = 1 - y / h;
        for (var x = 0; x < w; x++) {
            var sx = x / w;
            var ray = camera.generateRay(sx, sy);
            var color = rayTraceRecursive(scene, ray, maxReflect);
            pixels[i++] = color.r * 255;
            pixels[i++] = color.g * 255;
            pixels[i++] = color.b * 255;
            pixels[i++] = 255;
        }
    }

    ctx.putImageData(imgdata, 0, 0);
}

 

修改代码试试看

  • 改变一个球的reflectiveness,试试0、1及之间的数值
  • 改变maxReflect(rayTraceReflection最后一个参数)
  • 加入更多的球体(可用for循环啊……不过小心渲染时间太长)

结语

能体会到计算机图形学的有趣之处么?百多行简单的JavaScript代码,就绘画出像真的影像,那种满足感实非笔墨所能形容。

本文实现了一个简单的光线追踪渲染器,支持球体、平面、Phong材质、格子材质、多重反射等功能。读者可以下载这组代码,加入不同的扩展,也可以尝试翻译做熟悉的编程语言。很多光线追踪用到的计算机图形技术,也可以应用到实时图形编程里,例如光源和材质的计算,基本上可以简易翻译做实时图形的著色器(shader)编程。

游戏里采用光栅化渲染技术已有二十年以上,这几年的硬件发展,使其他渲染方法也能用于实时应用。光线追踪和其他类似的方法,有个当今重要优点,就是能高度平行化。采样之间并没有依赖性,例如256x256=65536个采样,理论上,可使用65536个机器/核心独立执行追踪,那么完成时间只是最慢的一个取样所需的时间。

笔者希望继续撰写这系列,例如包括以下内容:

  • 其他几何图形(长方体、柱体、三角形、曲面、高度场、等值面、……)
  • 光源(方向光源、点光源、聚光灯、阴影、ambient occlusion)
  • 材质(Phong-Blinn、Oren-Nayar、Torrance-Sparrow、折射、 Fresnel、BRDF、BSDF……)
  • 纹理(纹理座标、采样、Perlin noise)
  • 摄影机模型(正投射、全景、景深)
  • 成像流程(渐进渲染、反锯齿、后期处理)
  • 优化方法(场景剖分、低阶优化)
  • 其他全局光照渲染方法

祈望得到大家的意见反馈。

参考

更新

  • 2010年3月31日,网友HouSisong把本文代码以C++实现,并完全保留了原设计,代码可於他的博文下载。