代码改变世界

两条像面试用的编程问题,和我的囧事

2010-03-04 00:57 by Milo Yip, ... 阅读, ... 评论, 收藏, 编辑

昨天meta网友在某论坛写了两条编程题目:

  1. 设计一个函数f, 使得它满足:f(f(x))=-x,这里输入参数为32位整型
  2. 设计一个函数g, 满足:g(g(x))=1/x, x是浮点数

以下是一些反面的解答,可澄清这两条个题目:

  • meta提供了同事的解答,但该解答用了static local variable来區分办调用次数。这函数有副作用,且不是thread-safe。因此这不是好答案。
  • Sweating和Kng Zhu网友利用语言特性,第一次调用函数时,输出第二种型别,使第二次执行该函数时,用型别来检测这是第二次调用。这个方法其实等同写两个签名不一样的函数,和题目有出入,并不是正确答案。
  • Wang Feng网友利用复数去解题。不过如果输入输出能增加一个变量,不如直接用该变量来储存调用次数,就不需用复数了。

我的囧事

第一个回覆这帖子的是网友Atry,他解答了问题(1),但没有写当中的逻辑(其实和本文的解法思路一样)。

另外,有网友认为两条问题是无解的,我也是当中一员。因此,今天午饭时间就发了以下的错误证明:

  1. 假设一个函数 f 存在,x 为32-bit整数,f(x)) = -x
  2. 设 y = f(x)
  3. f(f(x)) = -x ⇔ f(y) = –x
  4. 变换变量, f(y) = -x ⇔ f(x) = -y ⇔ y = -f(x)
  5. y = f(x) = -f(x)

第5步只是当y=0才成立,和f的值域矛盾,按反证法,函数f不存在。

Lu JunZhu和Hongzhang Liu网友指出第4行有错误。Hongzhang Liu更套用同样思路,可以错误地证明,f(f(x))=4x中的f是不存在的。那就肯定是我的错了,囧rz。我当时没想到错在那,就去请教郑晖老师。

郑老师指出,只有自由变量(Free Variable)才可以置换(Subsititue)。上述证明中,x和y不是自由变量。 之后,郑老师独立做了一个解答,我编程序来测试(虽然郑老师认为应该用证明方式)。以下我尝试把郑老师的解答,加上我的理解去演译一个正确答案。

问题分析

这两问题的难点在于,函数不能储存额外状态。

我们首先分析问题(1),设y=f(x),则

1. f(x) = y

2. f(y) = -x

如果再把结果-x再应用一次f 函数,f(-x) = ?

因为之前 f(y)=-x,而按题目定义,f(f(y))=-y ,所以f(-x) = -y。我们可以列出:

3. f(-x) = -y

4. f(-y) = x

我们可以发现,4次函数映射之后,会变成一个循环。也就是说,

x → y → –x → –y → x→…

我们只要把数字分为四类,就可以实现这个循环。x和-x的分别是正负号,我们可以再利用数字的奇偶性,这两个正交属性可以产生4个组合。这个循环就可变成

正奇→ 正偶→ 负奇→ 负偶→ 正奇→ …

可以看到,这个排列的正负号是每两次更改。接下来,就要想一个函数,满足这个变化。郑老师说他经过几次推敲,得到:

f(x)=(-1)^x\cdot x + \mathrm{sgn}(x)

实现

在编程时,由于用(int)pow(-1,x)会做成浮点问题,所以我就改为:

template<typename t>
inline T even(T x) {
	return x % 2 == 0 ? -1 : 1;
}

template<typename t>
inline T sgn(T x) {
	if (x > 0)
		return 1;
	else if (x < 0)
		return -1;
	else
		return 0;
}

template<typename t>
struct f1 {
	T operator()(T x) {
		return even(x) * x + sgn(x);
	}
};

这个函数非常简单,可体现数学之美。郑老师也写了另一个比较少代码的实现:

template<typename T>
struct f2 {
	T operator()(T x) {
		if (x == 0)
			return 0;
		else if (x > 0)
			return x & 1 ? x + 1 : 1 - x;
		else
			return x & 1 ? x - 1 : -x - 1;
	}
};

测试

#include <limits>
#include <iostream>

using namespace std;

template<typename T, typename F>
void test(F f) {
	cout << "[" << (int)numeric_limits<T>::min() << "," << (int)numeric_limits<T>::max() << "]" << endl;
	T x = numeric_limits<T>::min();
	do {
		T y = f(f(x));
		if (y != (T)-x)
			cout << (int)x << " " << (int)y << endl;
		x++;
	} while (x != numeric_limits<T>::min());

	cout << endl;
}

void main() {
	test<signed char>(f1<signed char>());
	test<signed short>(f1<signed short>());
	test<int>(f1<int>());

	test<signed char>(f2<signed char>());
	test<signed short>(f2<signed short>());
	test<int>(f2<int>());
}

f1和f2的执行结果相同:

[-128,127]
127 127

[-32768,32767]
32767 32767

[-2147483648,2147483647]
2147483647 2147483647

这结果说明,除了x为整数的上限时,结果正确。但因为没有额外的状态,相信这个边界问题应该不能解决。

第二题

第二题比较简单,只需要利用-(-x) = x的特点,无论x为正或负,经过这两次映射,总会有一次为正数,一次为负数。所以可以写一个函数,在x为正数时(或负数时)计算其倒数:

float g(float x) {
	return x > 0 ? -1.0f / x : -x;
}

这个函数在x=0时无定义。

后记

我的数学不好,今天囧了。但是回想起来,如果我当初没有尝试去解决这个问题,就不会学到这些思考方式。这个小代价还是很值得的。

以上用了程序去测试正确性,应该也可以用数学归纳法去证明,读者可以试试看。

最后感谢郑老师的教导。