生成学习算法(Generative Learning algorithms)

一、引言

     前面我们谈论到的算法都是在给定\(x\)的情况下直接对\(p(y|x;\theta)\)进行建模。例如,逻辑回归利用\(h_\theta(x)=g(\theta^T x)\)对\(p(y|x;\theta)\)建模,这类算法称作判别学习算法。

     考虑这样一个分类问题,我们根据一些特征来区别动物是大象\((y=1)\)还是狗\((y=0)\)。给定了这样一个训练集,逻辑回归或感知算法要做的就是去找到一个决策边界,将大象和狗的样本分开来。可以换个思路,首先根据大象的特征来学习出一个大象的模型,然后根据狗的特征学习出狗的模型,对于一个新的样本,提取它的特征先放到大象的模型中求得是大象的概率,然后放到狗的模型中求得是狗的概率,最后我们比较两个概率哪个大,即确定这个动物是哪种类型。也即求\(p(y|x)=\frac{p(x|y)p(y)}{p(x)}\),\(y\)为输出结果,\(x\)为特征。


现在我们来定义这两种解决问题的方法:

判别学习算法(discriminative learning algorithm):直接学习\(p(y|x)\)或者是从输入直接映射到输出的方法

生成学习算法(generative learning algorithm):对\(p(x|y)\)(也包括\(p(y))\)进行建模。


\(y\)为输出变量,值为0或1,如果是大象取1,狗则取0

\(p(x|y = 0)\):对狗的特征进行建模

\(p(x|y = 1)\):对大象的特征建模

对\(p(x|y)\)和\(p(y)\)完成建模后,运用贝叶斯公式,就可以求得在给定\(x\)的情况下\(y\)的概率:

\[p(y|x)=\frac{p(x|y)p(y)}{p(x)}\]

\[p(x) = p(x|y = 1)p(y = 1) + p(x|y =0)p(y = 0)\]

由于我们关心的是\(y\)离散结果中哪一个的概率更大,而不是要求得具体的概率,所以上面的公式我们可以表达为:

\begin{align*} arg\,\underset{y}{max}p(y|x) &=arg\,\underset{y}{max}\frac{p(x|y)p(y)}{p(x)} \\ 
&=arg\,\underset{y}{max}p(x|y)p(y) \end{align*}

\(arg\,\underset{y}{max}p(y|x)\)的含义:满足条件的最大\(y\)值。对\(y\)求取最大值,与\(p(x)\)无关,所以可以不需要计算\(p(x)\)了

常见的生成模型有:隐马尔可夫模型HMM、朴素贝叶斯模型、高斯混合模型GMM、LDA等


二、高斯判别分析(Gaussian Discriminant Analysis)

下面介绍第一个生成学习算法GDA。在GDA中,假设\(x \in R^n\)且是连续的,且\(p(x|y)\)满足多项正态分布。

2.1 多项正态分布(The multivariate normal distribution)

假设随机变量\(X\)满足\(n\)维的多项正态分布,参数为均值向量\(\mu\in R^n\),协方差矩阵\(\Sigma \in R^{n\times n}\),记为\(N(\mu,\Sigma)\)其概率密度表示为:

\[p(x;\mu,\Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}(det\Sigma)^\frac{1}{2}}exp\bigg(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\bigg)\]

\(det\Sigma\)表示矩阵\(\Sigma\)的行列式(determinant)。

均值向量 :\(\mu\)

协方差矩阵:\(\Sigma=E[(X-E[X])(X-E[X])^T]=E[(x-\mu)(x-\mu)^T]\)

接下来我们用matlab来画一下二维正态分布的图像,我们可以调整均值和协方差矩阵来观察图像。

代码:

mu=[0 0];
sigma=[1.0 0;0 1.0];
[x y]=meshgrid(linspace(-3,3,40)',linspace(-3,3,40)');
X=[x(:) y(:)];
z=mvnpdf(X,mu,sigma);
surf(x,y,reshape(z,40,40));
hold on;
figure;
contour(x,y,reshape(z,40,40));

imageimage


\(\mu\)决定中心位置,\(\Sigma\)决定投影椭圆的朝向和大小。

2.2高斯判别分析模型(The Gaussian Discriminant Analysis model)

现在有一个分类问题,训练集的特征值\(x\)是随机连续值,那么我们可以利用高斯判别分析模型,假设\(p(x|y)\)满足多值正态分布,即:

\[y \sim Bernoulli(\phi)\]

\[x|y=0 \sim N(\mu_0, \Sigma)\]

\[x|y=1 \sim N(\mu_1, \Sigma)\]

概率分布为:

\[p(y) = \phi^y(1-\phi)^{1-y}\]

\[p(x|y=0) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}(det\Sigma)^\frac{1}{2}}exp\bigg(-\frac{1}{2}(x-\mu_0)^T\Sigma^{-1}(x-\mu_0)\bigg)\]

\[p(x|y=1) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}(det\Sigma)^\frac{1}{2}}exp\bigg(-\frac{1}{2}(x-\mu_1)^T\Sigma^{-1}(x-\mu_1)\bigg)\]

模型参数为\(\phi, \Sigma, \mu_0, \mu_1\),对数似然函数为:

\[l(\phi,\mu_0,\mu_1,\Sigma)=log\prod_{i=1}^{m}p(x^{(i)},y^{(i)};\phi,\mu_0,\mu_1,\Sigma)=log\prod_{i=1}^{m}p(x^{(i)}|y^{(i)};\mu_0,\mu_1,\Sigma)p(y^{(i)};\phi)\]


注意这里的参数有两个\(\mu\),表示在不同的结果模型下,特征均值不同,但我们假设协方差相同。反映在图上就是不同模型中心位置不同,但形状相同。这样就可以用直线来进行分隔判别。

求得所有的参数:

\[\phi = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=1\}\]

\[\mu_0=\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=0\}x^{(i)}}{\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=0\}}\]

\[\mu_1=\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=1\}x^{(i)}}{\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=1\}}\]

\[\Sigma = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}(x^{(i)}-\mu_{y{(i)}})(x^{(i)}-\mu_{y{(i)}})^T\]

\(\phi\)是训练样本中结果\(y=1\)占有的比例。

\(\mu_0\)是\(y=0\)的样本中特征均值。

\(\mu_1\)是\(y=1\)的样本中特征均值。

\(\Sigma\)是样本特征方差均值。

所以通过上面所述,画出图像如下图:

image

直线两边的\(y\)值不同,但协方差矩阵相同,因此形状相同,\(\mu\)不同,因此位置不同。
2.3讨论GDA和逻辑回归(Discussion: GDA and logistic regression)

现在我们把\(p(y = 1|x; \phi, \mu_0, \mu_1, \Sigma)\)看成是\(x\)的函数,则可以表达为:

\[p(y=1|x;\phi,\Sigma,\mu_0,\mu_1)=\frac{1}{1+exp(-\theta^Tx)}\]

\(\theta\) 是参数\(\phi,\Sigma,\mu_0,\mu_1\)的函数,这正是逻辑回归的形式。

逻辑回归和GDA在训练相同的数据集的时候我们得到两种不同的决策边界,那么怎么样来进行选择模型呢:

上面提到如果\(p(x|y)\)是一个多维的高斯分布,那么\(p(y|x)\)可以推出一个logistic函数;反之则不一定正确,\(p(y|x)\)是一个logistic函数并不能推出\(p(x|y)\)服从高斯分布.这说明GDA比logistic回归做了更强的模型假设.

如果\(p(x|y)\)真的服从或者趋近于服从高斯分布,则GDA比logistic回归效率高.

当训练样本很大时,严格意义上来说并没有比GDA更好的算法(不管预测的多么精确).

事实证明即使样本数量很小,GDA相对logisic都是一个更好的算法.

但是,logistic回归做了更弱的假设,相对于不正确的模型假设,具有更好的鲁棒性(robust).许多不同的假设能够推出logistic函数的形式. 比如说,如果\(x|y=0 \sim Poisson(\lambda_0)\),\(x|y=1 \sim Poisson(\lambda_1)\)那么\(p(y|x)\)是logistic。

logstic回归在这种类型的Poisson数据中性能很好. 但是如果我们使用GDA模型,把高斯分布应用于并不是高斯数据中,结果是不好预测的,GDA就不是很好了.

三:朴素贝叶斯(Naive Bayes)

在GDA中,特征向量\(x\)是连续的实数向量,那么现在谈论一下当\(x\)是离散时的情况。

我们沿用对垃圾邮件进行分类的例子,我们要区分邮件是不是垃圾邮件。分类邮件是文本分类的一种应用

将一封邮件作为输入特征向量,与现有的字典进行比较,如果在字典中第i个词在邮件中出现,则\(x_i=1\),否则\(x_i =0\),所以现在我们假设输入特征向量如下:

image


选定特征向量后,现在要对\(p(x|y)\)进行建模:

假设字典中有50000个词,\(x \in \{0, 1\}^{50000}\)   如果采用多项式建模, 将会有\(2^{50000}\)种结果,\(2^{50000}-1\)维的参数向量,这样明显参数过多。所以为了对\(p(x|y)\)建模,需要做一个强假设,假设\(x\)的特征是条件独立的,这个假设称为朴素贝叶斯假设(Naive Bayes (NB) assumption),这个算法就称为朴素贝叶斯分类(Naive Bayes classifier).

解释:

如果有一封垃圾邮件\((y=1)\),在邮件中出现buy这个词在2087这个位置,它对39831这个位置是否出现price这个词没有影响,也就是,我们可以这样表达\(p(x_{2087}|y)=p(x_{2087}|y,x_{39831})\),这个和\(x_{2087}\)和\(x_{39831}\)相互独立不同,如果相互独立,则可以写为\(p(x_{2087})=p(x_{2087}|x_{39831})\),我们这里假设的是在给定y的情下,\(x_{2087}\)和\(x_{39831}\)独立。

现在我们回到问题中,在做出假设后,可以得到:

image

解释

第一个等号用到的是概率的性质 链式法则

第二个等式用到的是朴素贝叶斯假设

朴素贝叶斯假设是约束性很强的假设,一般情况下 buy和price是有关系的,这里我们假设的是条件独立 ,独立和条件独立不相同

模型参数:

\[\phi_{i|y=1}=p(x_i=1|y=1)\]

\[\phi_{i|y=0}=p(x_i=1|y=0)\]

\[\phi_y=p(y=1)\]


对于训练集{(x(i) , y(i)); i =1, . . . , m},根据生成学习模型规则,联合似然函数(joint likelihood)为:

image

得到最大似然估计值:

image

最后一个式子是表示\(y=1\)的样本数占全部样本数的比例,前两个表示在\(y=1\)或\(y=0\)的样本中,特征\(x_j=1\)的比例。

拟合好所有的参数后,如果我们现在要对一个新的样本进行预测,特征为x,则有:

image

实际上只要比较分子就行了,分母对于y = 0和y = 1是一样的,这时只要比较p(y = 0|x)与p(y = 1|x)哪个大就可以确定邮件是否是垃圾邮件。

3.1拉普拉斯平滑(Laplace smoothing)

朴素贝叶斯模型可以在大部分情况下工作良好。但是该模型有一个缺点:对数据稀疏问题敏感。

  比如在邮件分类中,对于低年级的研究生,NIPS显得太过于高大上,邮件中可能没有出现过,现在新来了一个邮件"NIPS call for papers",假设NIPS这个词在词典中的位置为35000,然而NIPS这个词从来没有在训练数据中出现过,这是第一次出现NIPS,于是算概率时:

image

由于NIPS从未在垃圾邮件和正常邮件中出现过,所以结果只能是0了。于是最后的后验概率:

image

对于这样的情况,我们可以采用拉普拉斯平滑,对于未出现的特征,我们赋予一个小的值而不是0。具体平滑方法为:

假设离散随机变量取值为{1,2,···,k},原来的估计公式为:

image

使用拉普拉斯平滑后,新的估计公式为:

image

即每个k值出现次数加1,分母总的加k,类似于NLP中的平滑,具体参考宗成庆老师的《统计自然语言处理》一书。

  对于上述的朴素贝叶斯模型,参数计算公式改为:

image

posted on 2017-10-31 20:25 迈克老狼2012 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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