堆排序
排序描述：
输入：n个数的序列<a1,a2,…,an>
输出：输入序列的一个重排<a’1,a’2,…,a’n>,使得, a’1≤a’2,≤。。。≤a’n
排序算法中一大类是比较排序，下面我就总结一下比较排序：
1.堆的概念和堆的性质
堆：是一个完全二叉树，除了最后一层外，其他层都是填满的。
如果用一个数组表示一个堆，需要两个性质：length[A]和heap-size[A]。length[A]表示数组A的总长度，heap-size[A]表示数组中堆元素的个数。树根为A[1],树中节点i有如下性质：
Parent(i)
return i/2;
Left(i)
return 2*I;
Right(i)
return 2*i+1;
最大堆：除了根节点外所有的节点满足 A[Parent(i)]≥A[i](节点的父节点不小于节点本身)
最小堆：除了根节点外所有的节点满足 A[Parent(i)]≤A[i](节点的父节点不大于节点本身)
（这里我们以最大堆为例子）
堆支持的操作如下：
MAX-HEAPIFY过程，其运行时间为O(lgn),是保持最大堆性质的关键
BUILD-MAX-HEAP过程，以线性时间运行，可以再无序的输入数组的基础上构造最大堆
HEAPSORT过程，运行时间为O(nlgn)，对一个数组原地进行排序
MAX-HEAP-INSERT,HEARP-EXTRACT-MAX,HEAP-INCREASE-KEY和HEAP-MAXIMU过程的运行时间为O(lgn),可以让堆结构作为优先队列使用。
2.保持堆的性质(MAX-HEAPIFY)
输入数组A和下标i，前提是Right(i)和Left(i)都已经是最大堆，而A[i]可能会违背最大堆的性质，所有需要调整。
MAX-HEAPIFY(A,i)
l=Left(i)
r=Right(i)
if(l≤heap-size[A] and A[l]≥A[i])
then largest=l;
else largest=I;
if(r≤heap-size[A] and A[r]≥A[largest])
then largest=r;
if(largest!=i)
then exchange A[i]<->A[largest]
MAX-HEAPIFY(A,largest)
举例说明一下：
在元素4所在位置A[2]位置处，我们调用HEAP-HEAPIFY(A,2)，运行过程如下：
元素4首先与最大的孩子元素14交换，然后调用HEAP-HEAPIFY(A,4)
完成。
HEAP-HEAPIFY()的运行时间为：O(lgn)。
3，建堆
我们可以利用上面的HEAP-HEAPIFY()来进行建堆，我们从n/2+1处来调用上面的HEAP-HEAPIFY()，这样可以完成建堆，因为每一个叶子节点是平凡最大堆。
BUILD-MAX-HEAP(A)
heap-size[A]<-length[A]
for i<-length[A]/2 downto 1
do MAX-HEAPIFY(A,i)
建立堆的例子：
A:[4,1,3,2,16,9,10,14,8,7]
开始状态：
首先从元素16开始，由于16大于他所有的子节点，所有，这里不再移动，接着就到元素2,调整结果为：
接着，到了元素3,进过调整为：
下面到元素1,调整后为：
到元素4，调整后为：
完成。
通过上面的步骤，我们可以猜测可能运行时间为O(nlgn)，这个猜测不错，但是不够精确，其实其运行时间为O(n)(具体步骤证明可以参考算法导论P78)。
4，堆排序
基本思想：首先利用数字A构造一个最大堆，然后A[1]为最大元素，取出来，然后把A[heap-size]取代A[1]，然后调用HEAP-HEAPIFY(A,1)，递归返回A[1],就输出了排序后的数列。伪代码如下：
HEAP-SORT(A)
BULID-MAX-HEAP(A)
for i<-length[A] downto2
do exchange A[1]<-->A[i]
heap-size[A]<-heap-size[A]-1
MAX0HEAPIFY(A,1)
举例说明如下：
A:[4,1,3,2,16,9,10,14,8,7]
建堆过程在上面，我们这里直接引用结果：
第一次远行结果：
第二次运行结果：
第三次运行结果：
第四次运行结果：
第五次运行结果：
第六次远行结果：
第七次运行结果：
第八次运行结果：
第九次运行结果：
完成。
请注意，上面的九次步骤不是说这个算法的所有步骤，这里只是演示了排序过程，没有展示调整的过程。
运行时间为O(nlgn),以上就是所有的堆排序算法内容。
