浮点数指数域（阶码）的存储格式

浮点数公式：V=(-1)^s M2^E 

分2种情况，非规格（-1<V<1这个区间时）和规格（V<=-1或V>=1的区间时）。

1、当表示非规格化小数时，阶码全为0。

2、当为规格化小数时，根据阶码e的计算公式：

E=e - Bias
Bias=2^k-1 - 1
e=E + Bias
e=E + 2^k-1 - 1

举例：（5.25)₁₀ =(101.01)₂ =1.0101 * 2²

根据规格数的定义：M=1+f，f=M-1，故f=0.0101

E=2，e=2+2^8-1 -1 = (129)₁₀ =(10000001)₂ 

当然，以上是为了准确说明和引导理解。实际中，因为单精度浮点数的价码是约定好的8位，共bias也就是127，换成2进制是01111111，我们可以直接拿2的指数的二进制数和0111111相加就可以得出价码的二进制形式了。

重点：有的人说：价码就是2的指数的移码，经过验证这是错误的。移码的定义：

按照上述定义：e=2⁷+E，而根据上面的公式可知：e=2⁷ + E - 1

所以：正确的求法是：知道原码后，将原码从右往左数，第一个1为分界线，右边（含第一个1）求反，左边最高位求反，其余位不变。

这个方法属于二进制的速算技巧了，可以证明出来的，有机会补充上。

举例：(5.25)₂ = (101.01)₂ = (1.0101 * 2² ) ,由公式得知：E=2=e-127，e=2+127，2的二进制是10，根据上述速算法：e=(10000001)，f=01010000000000000000000

故5.25的浮点存储为：01000000101010000000000000000000

编程检查一下：

#include <cstdio>
int main(){
    float a=5.25;
    unsigned int b=*(int *)&a;  //把b转为无符号整型，取二进制位
    for(int i=0;i<32;i++){
        printf("%d",(b>>(31-i))&1?1:0);
    }
    printf("\nb=%d\n",b);  //看看把浮点格式转为int格式后，数字变成啥，for fun
    return 0;
}

输出：

vagrant@ubuntu-bionic:~$ ./t
01000000101010000000000000000000   //哈哈，激动，和我刚才推测的一样
b=1084751872   //看到没，float的5.25和unsigned int的1084751872一样的格式。

例2：(0.2)₁₀别小看这个数，在二进制中它是一个无限循环小数(0.001100110011...)₂，0011是循环节。这样的数如何解析呢？

它仍然是规格数，不要以为0和1之间，就是非规格数，非规格数用于表示0和极小的数，0.2显然不是，所以它还是规格数。

首先求f和e：把(0.00110011...)₂左移3位，让它的小数点左边为1，这是规格数的要求，这样变成这样（1.1001100110011...)₂*2^-3，变大了2³，自然要在缩小2³，才保证原数不变。

根据这个：(1.1001100110011...)₂*2^-3  括号内对应M，后面的指数-3对应E，则f=M-1=(0.100110011...)，e=E+127=124=（01111100)₂，这里在重点说一下，e的快捷求法，-3的二进制为：3的补码（按位求反+1）得(11111101)₂,然后，从右边第一个1为分界线，左边最高位求反，其余不变，右边（含第一个1）全部求反，得(01111100)_{2 ，}这个数就是指数域了。

然后小数域：有f=(0.100110011...)₂得出24位（多算1位，考虑舍入得问题），是：(0.100110011001100110011001)₂，看到最后第24位是1，故向前进1位，得到(0.10011001100110011001101)₂，这个数就是小数域的值了。

总上所述：（0.2)₁₀ 的二进制存储为：(00111110010011001100110011001101)₂

把上面的验证程序改个数，验证一下输出：

vagrant@ubuntu-bionic:~$ ./t
00111110010011001100110011001101   //哈哈，激动，又对了
b=1045220557

PS，还有一个验证程序的写法，就是用printf函数也可以：不过这个输出16进制，需要自己转一下二进制：

#include <cstdio>
using namespace std;
int main(void)
{
float f = 0.2;
int *df = (int *)&f;
printf("%#x\n",*df);
return 0;
}

输出：

vagrant@ubuntu-bionic:~$ ./t1
0x3e4ccccd

 

有兴趣可以把a变成任一浮点数，先自己推一下，看答案。

另外，欢迎有人来查错，但不要再无脑的抄别人了，这样，才能共同进步。