第二数学归纳法：硬币问题和堆垛游戏
相关：
*第二数学归纳法证明的结论和[第一数学归纳法](http://www.cnblogs.com/liqiuhao/p/7792374.html)是一样的，都是证明（局部）非负数元素都具有某些性质。但是第二数学归纳法中P(n)的推理是基于P(0~n)而非仅仅是P(n)。*
第二数学归纳法（Strong Induction），设P是作用在非负整数的谓词：
- P(0)成立
- 对于所有的n，P(0), P(1), P(2) ... P(n)共同推出P(n + 1)
- 则对于所有的非负整数m，P(m)成立
可以看到，在使用第一数学归纳法的时候我们只用了P(n)，而第二数学归纳法相比于第一数学归纳法在推P(n + 1)的时候使用更多的假设（P(0), P(1), P(2) ... P(n) ），用公式表达如下：
第二数学归纳法使用的模版和第一数学归纳法很像，除了两个地方：
- 声明证明使用的是第二数学归纳法
- 推理部分要假设P(0), P(1), P(2) ... P(n) 都是正确的。
硬币问题：
在太平洋上有一个叫做Inductia的国家，他们使用一种叫做Strong的硬币（简称Sg）。当年在印刷这种硬币的时候由于经费问题就只印刷了面值为3Sg和5Sg的硬币。虽然当地居民在找小额零钱（例如4Sg或者7Sg）的时候会有一些麻烦，但是他们发现任何大于等于8Sg的面额都能使用这两种硬币找开，例如26Sg可以用下面这种方案：
请给出证明。
- 下面使用第二数学归纳法证明。
- 设P(n)为对于8+n面额的钱，居民们可以用3Sg和5Sg的硬币找开。
- 当n=0，8Sg = 5Sg + 3Sg，所以P(0)成立。
- 设p(0)，p(1)，p(2) ... p(n)均成立(n > 2)，证明p(n + 1)成立：对于8 + n + 1的面额，可以前将其变为(8 + n + 1 - 3) + 3即(8 + n - 2) + 3这样的面额，由于我们已经假设了P(n - 2)的成立，所以(8 + n - 2) + 3可以由P(n - 2)的方案加上一个3Sg的硬币组合而成，所以P(n + 1)成立。对于n <=2：n = 2时，10 = 5 + 5；n = 1时，9 = 3*3。（这里要注意将n小于等于2的情况分开讨论，因为P(n-2)在n<2的时候没有定义，即归纳推理的“链条”不能断）
- 由归纳法，所有大于等于8Sg的面额居民都能用这两种硬币找开。
注：这个问题本质上是因为5和3的最大公因数是1，所以它们的线性组合可以得出任何数（1的整数倍），另外在5*1 + 3*1 = 8以上的任何数都可以用5a + 3b 表示，其中a和b都是非负数。后面我写数论部分的时候会给出具体证明的。
堆垛游戏：
在你的面前是一个由n个木块堆起来的堆垛，你每次可以将一个堆拆成两个堆，除非这个堆只剩下了一个木块。在每次分拆一个堆的时候你可以获得一些分数，例如，你将一个a+b块木块的堆拆成了a块的堆和b块的堆，你就可以得到a*b分。直到所有的堆都只含一个木块，游戏结束。例如，下图显示了一个拆一个由10个木块组成的堆的一种方案，其得分为45分 :
设请问你该采取什么策略能获得最高的分数？
我的第一想法是每次都把堆拆成两个相同高度的堆或者相差为1，例如5*5 = 25 > 1 * 9，但随后我意识到虽然第一次可能会大，但是随后可能会比较小，例如2 * 3 < 1 * 8。联想到这个题是要用归纳法的，自然觉得可能和策略无关，即不管什么策略都会得到相同的分数。试一下上面这个例子，每次都只拿走一个木块：9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45，果然是这样，其中1+2+3 ... +n = (n+1)*n/2，下面证明：
- 以下证明使用第二数学归纳法。
- 设P(n)为对于木块数为n的堆垛，其得分为n*(n+1)/2，和策略无关。
- P(0) = 0，即0*(0+1)/2 = 0，成立。
- 设P(1), P(2), P(3) ... P(n)成立。对于P(n + 1)，假设我们拆的第一步将其分为了木块数分别为a和b的两个堆，第一次得分为a*b，由于a和b都小于n+1，由P(a)和P(b)成立，我们可以知道最终的总得分为第一次的得分ab加上拆剩下两个堆的分数之和：ab + a*(a+1)/2 + b*(b+1)/2 = (a^2 + b^2 + ab + a + b)/2 = (a^2 + b^2 +2ab + n + 1)/2 = ( (a+b)^2 + (n+1) )/2 = ((n+1)^2 + (n+1))/2 = (n+1 + 1)(n+1)/2。所以推得P(n+1)成立。
- 由归纳法得到对于任意非负整数n，这个游戏的最终得分都是n*(n+1)/2，和策略无关。
参考：
