泰勒公式与极值问题

泰勒定理(带Lagrange余项)：如果函数$f(x)$在$x_0$的领域$U(x_0)$内具有直到$(n+1)$阶的导函数，则$\forall x\in U(x_0)$，存在$\theta\in(0,1)$，使得：

$$f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$$

$$R_n(x)=\frac{f^{n+1}\left(x_0+\theta(x-x_0)\right)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

$R_n(x)$称为拉格朗日余项。