计数排序

连续写了几天排序了。。写完这个换换口味。。

之前5篇BLOG的排序算法都是基于比较的方法，这种比较排序有运行时间的下界：T(n) = Ω(nlgn)。因此需要别的算法模型来实现更快速的排序。

计数排序是一种运行时间在输入的某种假设情况下可以为Θ(n)的算法，它的过程中没有比较环节。

基本的思路就是假设输入序列中任意的元素x都满足x∈[0, k]，且x和k都为整数。然后对每一元素x，都确定出序列中比它小的元素的个数，比如为n，则x排序后的位置就应当从n + 1处开始。实现的时候还需要考虑一些细节，比如序列中有几个元素大小相等，因此还需要对大小相等的元素个数进行计数，这样才能正确分配排序后各个元素的位置。

过程中用到了一个辅助序列C，C的大小为k + 1，从C[0]到C[k]，它的索引i代表序列中可能出现的大小为i的数，C[i]表示这个数有多少个。下面是算法导论上的例子：

待排序的序列：A = [2, 5, 3, 0, 2, 3, 0, 3]    计数序列：C = [2, 0, 2, 3, 0, 1]

                                                                                              索引：        0   1   2   3   4   5

表示序列中0, 1, 2, 3, 4, 5的个数分别为2, 0, 2, 3, 0, 1。

C序列中此时已经隐含了原序列中各个元素应该存放的位置，比如C[0] = 2，意味着大小为0的元素应当占据位置1, 2，而大小为1的元素应当从3开始，但原序列中没有1，因此向后遍历，大小为2的元素从3开始，个数为2，因此占据位置3, 4，以此类推。C[i]从0到n - 1求和的结果就是原序列中比n小的元素个数，假设为m，因此n应当从m开始，一直到m + c[n] - 1。

因此对C序列做前序加法就可以得到所有的位置信息，结果是 C = [2, 2, 4, 7, 7, 8]。画个图：

好凌乱的感觉。。算了。。就这样吧。。惯例贴下代码

---

def countingSort(L, k):
    C = []
    F = []
    for i in range(k + 1):
        C.append(0)
    for i in range(len(L)):
        F.append(0)
    for i in range(len(L)):
        C[L[i]] = C[L[i]] + 1
    i = 1
    while i < len(C):
        C[i] = C[i] + C[i - 1]
        i = i + 1
    # Elements in C decrease by 1
    # cause the index in list is started with 0
    for i in range(len(C)):
        C[i] = C[i] - 1
    i = len(L) - 1
    while i >= 0:
        F[C[L[i]]] = L[i]
        C[L[i]] = C[L[i]] - 1
        i = i - 1
    return F

---

和昨天的堆排序一样要注意的细节就是列表在计算机中存储，下标是从0开始的。

运行时间分析：

抛去C和F的初始化。算法中对C和L都各自做了遍历，这样运行时间就是 T(n) = Θ(k) + Θ(n) = Θ(n + k)

如果k的值较小使得k = Ο(n)则计数排序的运行时间是线性的，但k如果比较大则时间复杂度就很不理想了。因此，如果在MCS-51这种8位机上面，计数排序会比较实用，而对于常见的32位机，序列中可能出现的整数元素的个数为2³²，运行效率就很低下了，而且由于C的存在，内存占用也是个问题。

因此计数排序来带的线性运行时间是存在一定的假设的。