Kuhn-Munkres算法（二分图最大权匹配）

         二分图如果是没有权值的，求最大匹配。则是用匈牙利算法求最大匹配。如果带了权值，求最大或者最小权匹配，则必须用KM算法。

         其实最大和最小权匹配都是一样的问题。只要会求最大匹配，如果要求最小权匹配，则将权值取相反数，再把结果取相反数，那么最小权匹配就求出来了。

        KM算法及其难理解。。。看了几天还无头绪。

      先拿上一直采用的KM算法模板，按照吉林大学的模板写的。试试了好多次感觉都没有出错。

    

/******************************************************
二分图最佳匹配 （kuhn munkras 算法 O(m*m*n)).
邻接矩阵形式 。  返回最佳匹配值，传入二分图大小m,n
邻接矩阵 mat ，表示权，match1,match2返回一个最佳匹配,为匹配顶点的match值为-1，
一定注意m<=n，否则循环无法终止，最小权匹配可将全职取相反数。
初始化：  for(i=0;i<MAXN;i++)
             for(j=0;j<MAXN;j++) mat[i][j]=-inf;
对于存在的边：mat[i][j]=val;//注意不能负值 
********************************************************/
#include<string.h>
#define MAXN 310
#define inf 1000000000 
#define _clr(x) memset(x,-1,sizeof(int)*MAXN)
int KM(int m,int n,int mat[][MAXN],int *match1,int *match2)
{
        int s[MAXN],t[MAXN],l1[MAXN],l2[MAXN];
    int p,q,i,j,k,ret=0;
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        l1[i]=-inf;
        for(j=0;j<n;j++)
            l1[i]=mat[i][j]>l1[i]?mat[i][j]:l1[i];
        if(l1[i]==-inf)  return -1;
    } 
    for(i=0;i<n;i++)
        l2[i]=0;
    _clr(match1);
    _clr(match2);
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        _clr(t);
        p=0;q=0;
        for(s[0]=i;p<=q&&match1[i]<0;p++)
        {
            for(k=s[p],j=0;j<n&&match1[i]<0;j++)
            {
                if(l1[k]+l2[j]==mat[k][j]&&t[j]<0)
                {
                    s[++q]=match2[j];
                    t[j]=k;
                    if(s[q]<0)
                    {
                        for(p=j;p>=0;j=p)
                        {
                            match2[j]=k=t[j];
                            p=match1[k];
                            match1[k]=j;
                        }    
                    }    
                }    
            }    
        } 
        if(match1[i]<0)
        {
            i--;
            p=inf;
            for(k=0;k<=q;k++)
            {
                for(j=0;j<n;j++)
                {
                    if(t[j]<0&&l1[s[k]]+l2[j]-mat[s[k]][j]<p)
                       p=l1[s[k]]+l2[j]-mat[s[k]][j];
                }    
            }  
            for(j=0;j<n;j++)
               l2[j]+=t[j]<0?0:p;
            for(k=0;k<=q;k++)
               l1[s[k]]-=p;  
        }       
    } 
    for(i=0;i<m;i++)
        ret+=mat[i][match1[i]];
    return ret;      
}   

 

 

 

 

          下面是从网上的博客摘抄的一些零散的总结。。。。。

        

[二分图带权匹配与最佳匹配]

什么是二分图的带权匹配？二分图的带权匹配就是求出一个匹配集合，使得集合中边的权值之和最大或最小。而二分图的最佳匹配则一定为完备匹配，在此基础上，才要求匹配的边权值之和最大或最小。二分图的带权匹配与最佳匹配不等价，也不互相包含。

这两个的关系比较悬乎。我的理解就是带权匹配是不考虑是不是完备，只求最大或最小权匹配。而最佳匹配则必须在完备匹配的基础上找最大或最小权匹配。

这两个还是结合具体题目比较好理解些。

 

 

KM算法是求最大权完备匹配，如果要求最小权完备匹配怎么办？方法很简单，只需将所有的边权值取其相反数，求最大权完备匹配，匹配的值再取相反数即可。

 

KM算法的运行要求是必须存在一个完备匹配，如果求一个最大权匹配(不一定完备)该如何办？依然很简单，把不存在的边权值赋为0。

 

KM算法求得的最大权匹配是边权值和最大，如果我想要边权之积最大，又怎样转化？还是不难办到，每条边权取自然对数，然后求最大和权匹配，求得的结果a再算出e^a就是最大积匹配。至于精度问题则没有更好的办法了。

 

二分图最优匹配：对于二分图的每条边都有一个权（非负），要求一种完备匹配方案，使得所有匹配边的权和最大，记做最优完备匹配。（特殊的，当所有边的权为1时，就是最大完备匹配问题）

 

 

定义     设G＝<V₁，V₂，E>为二部图，|V₁|≤|V₂|，M为G中一个最大匹配，且|M|＝|V₁|，则称M为V₁到V₂的完备匹配。

在上述定义中，若|V₂|＝|V₁|，则完备匹配即为完美匹配，若|V₁|<|V₂|，则完备匹配为G中最大匹配。

 

 

 

KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点X_i的顶标为A[i]，顶点Y_i的顶标为B[i]，顶点X_i与Y_j之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，初始A[i]为与xi相连的边的最大边权，B[j]=0。KM算法的正确性基于以下定理：

设 G(V,E) 为二部图， G'(V,E') 为二部图的子图。如果对于 G' 中的任何边<x,y> 满足， L(x)+ L(y)== W_x,y，我们称 G'(V,E') 为 G(V,E) 的等价子图或相等子图（是G的生成子图）。

若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。

因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和（即不是最优匹配）。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。

 

         

该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。

 

　　KM算法的正确性基于以下定理：

 

　　若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。

 

　　首先解释下什么是完备匹配，所谓的完备匹配就是在二部图中，X点集中的所有点都有对应的匹配或者是

 

　　Y点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。

 

　　这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。

 

　　初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。

 

　　我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：

 

　　1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。

 

　　2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。

 

　　3）X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。

 

　　4）X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

 

　　现在的问题就是求d值了。为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于：

 

　　Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。　　以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A[ i ]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d。

 

　　Kuhn－Munkras算法流程：

 

　　(1)初始化可行顶标的值

 

　　(2)用匈牙利算法寻找完备匹配

 

　　(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值

 

　　(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止　

 

 

 

 

最后还是强调一点：

KM算法用来解决最大权匹配问题： 在一个二分图内，左顶点为X，右顶点为Y，现对于每组左右连接XiYj有权wij，求一种匹配使得所有wij的和最大。

也就是最大权匹配一定是完备匹配。如果两边的点数相等则是完美匹配。

如果点数不相等，其实可以虚拟一些点，使得点数相等，也成为了完美匹配。

 

 

最大权匹配还可以用最大流去解决。。。有待以后的学习。。