概率dp学习

预备知识

一、期望的数学定义

如果X 是一个离散的随机变量，输出值为 x1, x2, ...， 和输出值相应的概率
为p1, p2, ... （概率和为 1）, 那么期望值为E(x)=x1p1+x2p2+···+xn-1pn-1+xnpn

二、期望的线性性质

E(a*X+b)=a*E(X)+b

E(a*X+b*Y)=a*E(X)+b*E(Y)

E(XY)=E(X)*E(Y)

三、数学公式

1、无穷级数（参考百度百科）

1）定义

若有一个无穷数列

此数列构成下列表达式

称以上表达式为常数项无穷级数（infinite series），简称级数，记为

其中第项

叫做级数的一般项或通项。

一般而言，我们有

 

 

2）性质

1.收敛条件：通项以0为极限

证明：

2.系数性质：

若对于一个无穷级数，每项都乘以一个系数a，原级数和为s，则其和为as

即：

3）求和方式

1.法一：

利用类似求等比数列的方法求解：

例如：

求的和

解：

原式为(1)

(2)

(1)-(2)得

则

即级数和为

 

参考论文：

《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》

《信息学竞赛中概率问题求解初探》

《有关概率和期望问题的研究》

1.1 百事世界杯之旅

source:SHTSC2002 Day 1 Prob 2

 “……在2003年6月之前购买的百事任何饮料的瓶盖上都会有一个百事球星的名字。只要凑齐所有百事球星的名字，就可以参加百事世界杯之旅的抽奖活动，获取球星背包、随身听，更可以赴日韩观看世界杯。还不赶快行动！……”

你关上电视，心想：假设有n个不同球星的名字，每个名字出现的概率相同，平均需要买几瓶饮料才能凑齐所有的名字呢？

输入输出要求

输入一个数字n，2≤n≤33，表示不同球星名字的个数。                                                            

输出凑齐所有的名字平均需要购买的饮料瓶数。如果是一个整数则直接输出。否则就用下面样例中的格式分别输出整数部分和小数部分。分数必须是不可约的。

样例输入和输出

Sample 1

2

3

Sample 2

5

    5
11---
    12

Sample 3

17

    340463
58----------
    720720

Solution

假设当前已经抽到了k个球员，那么再抽到剩余n-k个球员中的任意一个的概率为(n-k)/(n)