病毒分裂

题目描述
A 学校的实验室新研制出了一种十分厉害的病毒。由于这种病毒太难以人工制造 了，所以专家们在一开始只做出了一个这样的病毒。 这个病毒被植入了特殊的微型芯片，使其可以具有一些可编程的特殊性能。最重要的一个性能就是，专家们可以自行设定病毒的分裂能力K，假如现在有x 个病毒，下一个分裂周期将会有Kx 个一模一样的病毒。你作为该实验室的数据分析员，需要统计出在分裂到第N个周期前，一共有多少个病毒单体进行了分裂。一开始时总是只有一个病毒，这个局面算作第一个周期。由于答案可能很大，专家们只需要你告诉他们对给定的P 取模后的答案。

输入
一行三个整数，依次是K, N, P。

输出
一行一个整数，你的答案（对P 取模）

样例输入
5 3 7

样例输出
6

提示
样例一解释：第一个周期有1 个病毒，产生了一次分裂。第二个周期有1*5=5个病毒，这五个病毒都会分裂。所以第三个周期前一共进行了1+5 等于6 次分裂。答案即为6 mod 7 = 6

来源
by azui

分治

#include<cstdio>
long long k,n,p;
long long quickpow(long long x,long long k)
{
    long long ret=1;
    while(k){
        if(k&1)
            ret=(ret*x)%p;
        x=(x*x)%p;
        k>>=1;
    }
    return ret;
}
long long Calcu_sum(long long k,long long m)
{
    if(m==1) return k;
    long long tmp=Calcu_sum(k,m>>1)%p;
    long long g=quickpow(k,m>>1);
    if(!(m&1))
        return (tmp*g%p + tmp)%p;
    else{
        long long h=quickpow(k,m);
        return ((tmp*g%p + tmp)%p + h)%p;
    }
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&k,&n,&p);
    //k^(n-2)
    if(n==1){
        printf("1\n");
        return 0;
    }
    k%=p;
    long long ans=Calcu_sum(k,n-2);
    printf("%lld\n",(ans+1)%p);
    return 0;
}

ljh的另一类解法：
1+k+k^2+…+k^(n-2)=(k^(n-1)-1)/k-1
mod运算不支持除法，考虑将分子构造出(k+1)*(k-1)的形式，将(k-1)约掉。k^(n-1)-1=k^(2^p)+k^r-1 , r=n-1-2^p , 问题转化为k^r-1的子问题，递归求解。

#include<cstdio>
typedef long long LL;
LL k,p,ans;
unsigned long long n;
LL pow(LL a,LL b,LL p){
    int ret=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ret=ret*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
LL pfc(LL a,LL Log,LL p){
    LL ret=1;
    while(Log--){
        ret=ret*(a+1)%p;
        a=a*a%p;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&k,&n,&p);
    n--;
    unsigned long long Log;
    while(n){
        for(Log=0;1LL<<Log<=n&&Log<64;Log++);
        Log--;
        n-=(1LL<<Log);
        ans=(ans+pfc(k,Log,p)*pow(k,n,p))%p;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}