减治法（二） 生成排列的减治算法及其他算法
从这篇文章始，将花连续2篇文章来介绍2个很重要的问题：生成排列和生成子集
它们都有减一治策略的算法，但这2篇文章将不仅仅局限于减一治策略来实现，而将介绍更多的实现算法。这篇介绍排列，下篇介绍子集。
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介绍3种构造排列的方法：
算法1：减一治从底向上构造排列
假设n-1个元素的排列已经生成好，那么将第n个元素插入到每一个排列项的不同位置，就得到一个新的排列项。举个例子：
注意这可以递归的定义，用二维数组的第一维表示一个排列项，第二维表示排列项的每一位。
public static int[][] getArrange(int a) {
//输出1到a的排列
int[][] result = new int[Fact(a)][a];//共Fact(a)个结果，结果的每个数存在第二维中
if (a == 1)
result[0][0] = 1;
else //递归的从下往上构造
{
int[][] temp = getArrange(a - 1);//得到a-1时的结果
int[] aaa = new int[a - 1];
int position = 0; //result当前可用位置
for (int i = 0; i < temp.length; i++) {
aaa = temp[i]; //依次取出每个结果
//对这些结果做插入操作就得到了新的一个排列
for (int j = 0; j < a; j++) //插入的不同位置决定了一个结果
{
result[position][j] = a;
//将aaa的位放入剩下的几个位置
for (int k = 0, s = 0; k < a && s < a - 1; k++)
if (result[position][k] != a) {
result[position][k] = aaa[s];
s++;
}
position++;
}
}
}
return result;
}
算法2：Johnson-Trotter算法通过移动来生成排列
给每个元素赋一个方向，这可以用一个数组来表示，0指向左，1指向右。
有了可移动元素的概念，Johnson-Trotter算法的描述如下：
算法证明应该很难，我就照着流程写的：
public static int[][] JohnsonTrotter(int a) {
//Johnson-Trotter算法实现排列
int[][] result = new int[Fact(a)][a];
//得到第一个排列及方向的初始化
int[] direct = new int[a]; //方向，0指向左，1指向右边
for (int i = 0; i < a; i++)
result[0][i] = i + 1;
int position = 1; //result下一个可用位置
//int[] aaa = result[0];//非常典型的错误！！！aaa此时和result[0]指向同一个引用，最周会导致result[0]是最后一个aaa的值
int[] aaa = new int[a];
for (int i = 0; i < a; i++)
aaa[i] = result[0][i];
while (hasMove(aaa, direct)) {
int maxMove = maxMove(aaa, direct); //求当前最大移动元素
int indexMax = 0; //最大元素的下标
for (int i = 0; i < aaa.length; i++)
if (aaa[i] == maxMove)
indexMax = i;
//把k和它箭头指向的相邻元素互换
if (direct[indexMax] == 0) {
//元素互换
int temp = aaa[indexMax];
aaa[indexMax] = aaa[indexMax - 1];
aaa[indexMax - 1] = temp;
//相应的direct数组也要改变！！！
direct[indexMax] = direct[indexMax - 1];
direct[indexMax - 1] = 0;
} else if (direct[indexMax] == 1) {
int temp = aaa[indexMax];
aaa[indexMax] = aaa[indexMax + 1];
aaa[indexMax + 1] = temp;
//相应的direct数组也要改变！！！
direct[indexMax] = direct[indexMax + 1];
direct[indexMax + 1] = 1;
}
//调转所有大于k的元素的方向
for (int i = 0; i < aaa.length; i++)
if (aaa[i] > maxMove) {
if (direct[i] == 0)
direct[i] = 1;
else
direct[i] = 0;
}
//将新排列加入到结果列表
for (int i = 0; i < aaa.length; i++)
result[position][i] = aaa[i];
position++;
//错误同上，引用问题！！！这样会导致每个position的值实际上是一直在跟踪aaa
//result[position] = aaa;
//position++;
}
return result;
}
相应的支持方法见后面完整的代码。
算法3：字典序来生成排列，这样生成的排列是按顺序的。
其实其关键在于怎样按顺序找出一个排列项的下一个排列项（这应该属于高中数学排列组合里面一个还比较难的问题）
设P是1~n的一个全排列:P = P1P2……Pn = P1P2……Pj-1PjPj+1……Pk-1PkPk+1……Pn
（1）从排列的最右端开始，找出第一个比右边数字小的数字的序号j（j从左端开始计算），即 j=max{i|pi
（2）在Pj的右边的数字中，找出所有比Pj大的数中最小的数字Pk，即 k=max{i|Pi>Pj}（右边的数从右至左是递增的，因此k是所有大于Pj的数字中序号最大者）
（3）对换Pj，Pk
（4）再将Pj+1……Pk-1PkPk+1Pn反转，即得到排列P的下一个排列。
举个例子：
例如839647521是数字1～9的一个排列。从它生成下一个排列的步骤如下：
自右至左找出排列中第一个比右边数字小的数字4 839647521
在该数字后的数字中找出比4大的数中最小的一个5 839647521
将5与4交换 839657421
将7421倒转 839651247
所以839647521的下一个排列是839651247。
public static int[][] dicArrange(int a) {
//字典序生成排列
int[][] result = new int[Fact(a)][a]; //结果数组
for (int i = 0; i < a; i++)
result[0][i] = i + 1; //初始化得到第一个排列，升序
int[] aaa = new int[a];
for (int i = 0; i < result[0].length; i++)
aaa[i] = result[0][i]; //将aaa作为一个中介，来变化得到不同的排列方式
int position = 1;
while (!isDesending(aaa)) {
int m = 0, n = 0, mindex = 0, nindex = 0;
for (int i = aaa.length - 2; i >= 0; i--)
if (aaa[i] < aaa[i + 1]) {
m = aaa[i]; //自右至左第一个比右边小的数
mindex = i;
break; //铸成大错
//System.out.print(m + " ");
}
for (int i = aaa.length - 1; i > mindex; i--)
if (m < aaa[i]) {
n = aaa[i]; //m的右边比m大的最小的数
nindex = i;
break; //铸成大错
//System.out.print(n + " ");
}
//将m，n交换
aaa[mindex] = n;
aaa[nindex] = m;
//将mindex以后的位置逆序（从mindex+1开始）
int pairs = (aaa.length - mindex - 1) / 2; //交换这么多对即可
for (int i = 0; i < pairs; i++) {
//int s1Index = i + mindex,s1 = aaa[s1Index];//错了一个下标
int s1Index = i + mindex + 1, s1 = aaa[s1Index];
int s2Index = aaa.length - 1 - i, s2 = aaa[s2Index];
aaa[s1Index] = s2;
aaa[s2Index] = s1;
}
for (int i = 0; i < aaa.length; i++)
result[position][i] = aaa[i];
position++;
}
return result;
}
一些支持方法，见三种算法的完整代码：
Arrangement
package Section5;
import java.util.Scanner;
/*第5章 减治法 生成排列（3种算法）*/
public class Arrangement {
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int a = scan.nextInt();
//输出从1到a的排列
int[][] result1 = getArrange(a);
int[][] result2 = JohnsonTrotter(a);
int[][] result3 = dicArrange(a);
System.out.println("\n减1治自底向上生成排列的算法： ");
for (int i = 0; i < result1.length; i++) {
for (int j = 0; j < a; j++)
System.out.print(result1[i][j]);
System.out.print(" ");
}
System.out.println("\n\nJohnson-Trotter算法通过移动来生成排列： ");
for (int i = 0; i < result2.length; i++) {
for (int j = 0; j < a; j++)
System.out.print(result2[i][j]);
System.out.print(" ");
}
System.out.println("\n\n字典序来构造排列的算法： ");
for (int i = 0; i < result3.length; i++) {
for (int j = 0; j < a; j++)
System.out.print(result3[i][j]);
System.out.print(" ");
}
}
public static int[][] dicArrange(int a) {
//字典序生成排列
int[][] result = new int[Fact(a)][a]; //结果数组
for (int i = 0; i < a; i++)
result[0][i] = i + 1; //初始化得到第一个排列，升序
int[] aaa = new int[a];
for (int i = 0; i < result[0].length; i++)
aaa[i] = result[0][i]; //将aaa作为一个中介，来变化得到不同的排列方式
int position = 1;
while (!isDesending(aaa)) {
int m = 0, n = 0, mindex = 0, nindex = 0;
for (int i = aaa.length - 2; i >= 0; i--)
if (aaa[i] < aaa[i + 1]) {
m = aaa[i]; //自右至左第一个比右边小的数
mindex = i;
break; //铸成大错
//System.out.print(m + " ");
}
for (int i = aaa.length - 1; i > mindex; i--)
if (m < aaa[i]) {
n = aaa[i]; //m的右边比m大的最小的数
nindex = i;
break; //铸成大错
//System.out.print(n + " ");
}
//将m，n交换
aaa[mindex] = n;
aaa[nindex] = m;
//将mindex以后的位置逆序（从mindex+1开始）
int pairs = (aaa.length - mindex - 1) / 2; //交换这么多对即可
for (int i = 0; i < pairs; i++) {
//int s1Index = i + mindex,s1 = aaa[s1Index];//错了一个下标
int s1Index = i + mindex + 1, s1 = aaa[s1Index];
int s2Index = aaa.length - 1 - i, s2 = aaa[s2Index];
aaa[s1Index] = s2;
aaa[s2Index] = s1;
}
for (int i = 0; i < aaa.length; i++)
result[position][i] = aaa[i];
position++;
}
return result;
}
private static boolean isDesending(int[] aaa) {
//判断序列aaa是否为降序
for (int i = 0; i < aaa.length - 1; i++)
if (aaa[i] < aaa[i + 1])
return false;
return true;
}
public static int[][] getArrange(int a) {
//输出1到a的排列
int[][] result = new int[Fact(a)][a];//共Fact(a)个结果，结果的每个数存在第二维中
if (a == 1)
result[0][0] = 1;
else //递归的从下往上构造
{
int[][] temp = getArrange(a - 1);//得到a-1时的结果
int[] aaa = new int[a - 1];
int position = 0; //result当前可用位置
for (int i = 0; i < temp.length; i++) {
aaa = temp[i]; //依次取出每个结果
//对这些结果做插入操作就得到了新的一个排列
for (int j = 0; j < a; j++) //插入的不同位置决定了一个结果
{
result[position][j] = a;
//将aaa的位放入剩下的几个位置
for (int k = 0, s = 0; k < a && s < a - 1; k++)
if (result[position][k] != a) {
result[position][k] = aaa[s];
s++;
}
position++;
}
}
}
return result;
}
public static int[][] JohnsonTrotter(int a) {
//Johnson-Trotter算法实现排列
int[][] result = new int[Fact(a)][a];
//得到第一个排列及方向的初始化
int[] direct = new int[a]; //方向，0指向左，1指向右边
for (int i = 0; i < a; i++)
result[0][i] = i + 1;
int position = 1; //result下一个可用位置
//int[] aaa = result[0];//非常典型的错误！！！aaa此时和result[0]指向同一个引用，最周会导致result[0]是最后一个aaa的值
int[] aaa = new int[a];
for (int i = 0; i < a; i++)
aaa[i] = result[0][i];
while (hasMove(aaa, direct)) {
int maxMove = maxMove(aaa, direct); //求当前最大移动元素
int indexMax = 0; //最大元素的下标
for (int i = 0; i < aaa.length; i++)
if (aaa[i] == maxMove)
indexMax = i;
//把k和它箭头指向的相邻元素互换
if (direct[indexMax] == 0) {
//元素互换
int temp = aaa[indexMax];
aaa[indexMax] = aaa[indexMax - 1];
aaa[indexMax - 1] = temp;
//相应的direct数组也要改变！！！
direct[indexMax] = direct[indexMax - 1];
direct[indexMax - 1] = 0;
} else if (direct[indexMax] == 1) {
int temp = aaa[indexMax];
aaa[indexMax] = aaa[indexMax + 1];
aaa[indexMax + 1] = temp;
//相应的direct数组也要改变！！！
direct[indexMax] = direct[indexMax + 1];
direct[indexMax + 1] = 1;
}
//调转所有大于k的元素的方向
for (int i = 0; i < aaa.length; i++)
if (aaa[i] > maxMove) {
if (direct[i] == 0)
direct[i] = 1;
else
direct[i] = 0;
}
//将新排列加入到结果列表
for (int i = 0; i < aaa.length; i++)
result[position][i] = aaa[i];
position++;
//错误同上，引用问题！！！这样会导致每个position的值实际上是一直在跟踪aaa
//result[position] = aaa;
//position++;
}
return result;
}
private static int maxMove(int[] a, int[] direct) {
//求最大移动元素
int max = 0;
for (int i = a.length - 1; i >= 0; i--) {
if (direct[i] == 0 && i != 0)
if (a[i] > a[i - 1] && a[i] > max)
max = a[i];
if (direct[i] == 1 && i != a.length - 1)
if (a[i] > a[i + 1] && a[i] > max)
max = a[i];
}
return max;
}
private static boolean hasMove(int[] a, int[] direct) {
//判断序列a是否存在可移动元素
for (int i = a.length - 1; i >= 0; i--) {
if (direct[i] == 0 && i != 0)
if (a[i] > a[i - 1])
return true;
if (direct[i] == 1 && i != a.length - 1)
if (a[i] > a[i + 1])
return true;
}
return false;
}
private static int Fact(int a) {
//求a的阶乘
int fact = 1;
while (a != 0) {
fact = fact * a;
a--;
}
return fact;
}
}
运行结果（生成1到4的排列）：
4
减1治自底向上生成排列的算法：
4321 3421 3241 3214 4231 2431 2341 2314 4213 2413 2143 2134 4312 3412 3142 3124 4132 1432 1342 1324 4123 1423 1243 1234
Johnson-Trotter算法通过移动来生成排列：
1234 1243 1423 4123 4132 1432 1342 1324 3124 3142 3412 4312 4321 3421 3241 3214 2314 2341 2431 4231 4213 2413 2143 2134
字典序来构造排列的算法：
1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321
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总结：
算法的思路上面的描述都很清晰了，但实现起来其实还不是很容易。
这些代码是十几天前写的了，还要好好看看具体的实现。
