动态树之（雾）树链剖分

这货是不是动态树里的我就不清楚了，fhq的blog好像有提到orz

一些不需要link-cut操作的树上路径的题可以用树链剖分做，常数比lct小多了。 //upd：所以这已经不是动态树了囧。。。。。标题我就不改了。。。。。。还好原来机智打了个“雾”

学习了下hld（树链剖分），嗯，挺简单的。hld可以在树中的操作有很多，hld可以说只是一种概念结构，它可以套很多其它的数据结构来进行操作，比如我现在只要求路径最值和求和，那么套线段树就行了；如果我要求第k大，可以套splay和主席树（这个不知道），也可以套分块（不会，分块以后学，必须学。。）但是我觉得，树剖比lct还要难写。。我lct一下就能写出来了。。可是lct的常数，不忍直视。。概念：

    重儿子：num[u]为v的子节点中num值最大的，那么u就是v的重儿子。
    轻儿子：v的其它子节点。
    重边：点v与其重儿子的连边。
    轻边：点v与其轻儿子的连边。
    重链：由重边连成的路径。
    轻链：轻边。
    剖分后的树有如下性质：
    性质1：如果(v,u)为轻边，则siz[u] * 2 < siz[v]；
    性质2：从根到某一点的路径上轻链、重链的个数都不大于logn。

我们来说他怎么在路径操作吧：

下边是一个例图：黑边为重边，带红点的为重边组成的链的最顶点（没有重边的点最顶点就是它自己），蓝字为重边的序号

哈哈，发现了什么吗？

重链的序号是连续的。 不会有两条重链相交～～

哈哈？套各种树维护啦～～～。

我们在这个连续的区间操作就行了，然后不断向根走，直到走到最顶点相交（这里不是重链相交，是最顶点相交，即一条轻边和重边的交点）

向上走的时候，不是一个个走，那么效率大大提高啦～。。这就是树链剖分的主体思想。

 

我们在这些链（或点）重新标号后，用各种数据结构维护信息。

求树剖需要维护的域很简单，两个深搜搞定，大家自己想吧，我不说了（要是想不通，，点这：http://blog.csdn.net/jiangshibiao/article/details/24669751）

 

例题：

基于点分类：【BZOJ】1036: [ZJOI2008]树的统计Count（lct/树链剖分）

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define dbg(x) cout << #x << "=" << x << endl
#define read(x) x=getint()
#define print(x) printf("%d", x)
#define lc x<<1
#define rc x<<1|1
#define lson l, m, lc
#define rson m+1, r, rc
#define MID (l+r)>>1

const int oo=~0u>>1;
inline int getint() { char c; int ret=0, k=1; for(c=getchar(); c<'0' || c>'9'; c=getchar()) if(c=='-') k=-1; for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) ret=ret*10+c-'0'; return k*ret; }

const int N=30010, M=100005;
int ihead[N], inext[M], to[M], cnt, n, m;
int top[N], son[N], fa[N], dep[N], sz[N], id[N], a[N], b[N], tot;
int L, R, key;

struct node { int mx, sum; }t[N*50];
inline const int max(const int& a, const int& b) { return a>b?a:b; }
inline void pushup(const int &x) { t[x].mx=max(t[lc].mx, t[rc].mx); t[x].sum=t[lc].sum+t[rc].sum; }

void dfs1(const int &u) {
	sz[u]=1; int v;
	for(int i=ihead[u]; i; i=inext[i]) if(fa[u]!=(v=to[i])) {
		fa[v]=u;
		dep[v]=dep[u]+1;
		dfs1(v);
		sz[u]+=sz[v];
		if(sz[v]>sz[son[u]]) son[u]=v;
	}
}

void dfs2(const int &u, const int &tp) {
	id[u]=++tot; top[u]=tp; b[tot]=a[u];
	if(son[u]) dfs2(son[u], tp);
	for(int i=ihead[u]; i; i=inext[i]) if(to[i]!=fa[u] && to[i]!=son[u]) dfs2(to[i], to[i]);
}

void build(const int &l, const int &r, const int &x) {
	if(l==r) { t[x].mx=t[x].sum=b[l]; return; }
	int m=MID;
	build(lson); build(rson);
	pushup(x); 
}

void update(const int &l, const int &r, const int &x) {
	if(l==r) { t[x].mx=t[x].sum=key; return; }
	int m=MID;
	if(L<=m) update(lson);
	if(m<R) update(rson);
	pushup(x); 
}

int getmax(const int &l, const int &r, const int &x) {
	if(L<=l && r<=R) return t[x].mx;
	int m=MID, mx=oo+1;
	if(L<=m) mx=max(mx, getmax(lson));
	if(m<R) mx=max(mx, getmax(rson));
	return mx;
}

int query(const int &l, const int &r, const int &x) {
	if(L<=l && r<=R) return t[x].sum;
	int m=MID, ret=0;
	if(L<=m) ret+=query(lson);
	if(m<R) ret+=query(rson);
	return ret;
}

inline int getmax(int x, int y) {
	int fx=top[x], fy=top[y], ret=oo+1;
	while(fx!=fy) {
		if(dep[fx]<dep[fy]) { swap(x, y); swap(fx, fy); }
		L=id[fx], R=id[x];
		ret=max(ret, getmax(1, n, 1));
		x=fa[fx]; fx=top[x];
	}
	if(dep[x]>dep[y]) swap(x, y);
	L=id[x], R=id[y];
	return max(ret, getmax(1, n, 1));
}

inline int query(int x, int y) {
	int fx=top[x], fy=top[y], ret=0;
	while(fx!=fy) {
		if(dep[fx]<dep[fy]) { swap(x, y); swap(fx, fy); }
		L=id[fx], R=id[x];
		ret+=query(1, n, 1);
		x=fa[fx]; fx=top[x];
	}
	if(dep[x]>dep[y]) swap(x, y);
	L=id[x], R=id[y];
	return ret+query(1, n, 1);
}

inline void add(const int &u, const int &v) {
	inext[++cnt]=ihead[u]; ihead[u]=cnt; to[cnt]=v;
	inext[++cnt]=ihead[v]; ihead[v]=cnt; to[cnt]=u;
}

int main() {
	read(n);
	int u, v, ans;
	for(int i=1; i<n; ++i) {
		read(u); read(v);
		add(u, v);
	}
	for(int i=1; i<=n; ++i) read(a[i]);
	dfs1(1);
	dfs2(1, 1);
	build(1, n, 1);
	char c[10];
	read(m);
	for(int i=0; i<m; ++i) {
		scanf("%s", c);
		if(c[0]=='C') {
			read(u); read(key); L=R=id[u];
			update(1, n, 1);
		}
		else if(c[0]=='Q') {
			read(u); read(v);
			if(c[1]=='M') ans=getmax(u, v);
			else ans=query(u, v);
			printf("%d\n", ans);
		}
	}
	return 0;
}

 

基于边分类：【SPOJ】375. Query on a tree（树链剖分）

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define lc x<<1
#define rc x<<1|1
#define lson l, m, lc
#define rson m+1, r, rc
#define MID (l+r)>>1
#define read(x) x=getint()
#define dbg(x) cout << #x << "=" << x << endl
inline const int max(const int& a, const int& b) { return a>b?a:b; }
inline int getint() { char c; int ret=0, k=1; for(c=getchar(); c<'0' || c>'9'; c=getchar()) if(c=='-') k=-1; for(; c>='0' && c<='9'; c=getchar()) ret=ret*10+c-'0'; return k*ret; }

const int N=50010, oo=~0u>>1;
struct Ed { int u, v, w; }e[N];
int ihead[N], inext[N<<1], to[N<<1], cnt;
int fa[N], sz[N], son[N], top[N], dep[N], id[N], mx[N*5], num[N], tot, L, R, key, n;

inline void pushup(const int &x) { mx[x]=max(mx[lc], mx[rc]); }
void build(const int &l, const int &r, const int &x) {
	if(l==r) { mx[x]=num[l]; return; }
	int m=MID;
	build(lson); build(rson);
	pushup(x); 
}
void update(const int &l, const int &r, const int &x) {
	if(l==r) { mx[x]=key; return; }
	int m=MID;
	if(L<=m) update(lson); if(m<R) update(rson); pushup(x);
}
int getmax(const int &l, const int &r, const int &x) {
	if(L<=l && r<=R) return mx[x];
	int m=MID, ret=oo+1;
	if(L<=m) ret=max(ret, getmax(lson)); if(m<R) ret=max(ret, getmax(rson)); return ret;
}
void dfs1(const int &u) {
	sz[u]=1; int v;
	for(int i=ihead[u]; i; i=inext[i]) if(fa[u]!=(v=to[i])) {
		fa[v]=u; dep[v]=dep[u]+1;
		dfs1(v);
		sz[u]+=sz[v];
		if(sz[v]>sz[son[u]]) son[u]=v;
	}
}
void dfs2(const int &u, const int &tp) {
	id[u]=++tot; top[u]=tp;
	if(son[u]) dfs2(son[u], tp);
	for(int i=ihead[u]; i; i=inext[i]) if(fa[u]!=to[i] && to[i]!=son[u]) dfs2(to[i], to[i]);
}
inline int getmax(int x, int y) {
	int fx=top[x], fy=top[y], ret=oo+1;
	while(fx!=fy) {
		if(dep[fx]<dep[fy]) { swap(x, y); swap(fx, fy); }
		L=id[fx]; R=id[x];
		ret=max(ret, getmax(2, n, 1));
		x=fa[fx]; fx=top[x];
	}
	if(dep[x]>dep[y]) swap(x, y);
	if(x!=y) L=id[x]+1; R=id[y]; //这里，如果不特判的话，L会>R，然后线段树那里果断死循环
	return max(ret, getmax(2, n, 1));
}
inline void add(const int &u, const int &v) {
	inext[++cnt]=ihead[u]; ihead[u]=cnt; to[cnt]=v;
	inext[++cnt]=ihead[v]; ihead[v]=cnt; to[cnt]=u;
}
int main() {
	int c=getint(), a, b; char ch;
	while(c--) {
		read(n);
		tot=cnt=0;
		memset(ihead, 0, sizeof(int)*(n+10));
		memset(fa, 0, sizeof(int)*(n+10));
		memset(son, 0, sizeof(int)*(n+10));
		for(int i=1; i<n; ++i) {
			read(e[i].u); read(e[i].v); read(e[i].w);
			add(e[i].u, e[i].v);
		}
		dfs1(1); dfs2(1, 1);
		for(int i=1; i<n; ++i) {
			if(dep[e[i].u]>dep[e[i].v]) swap(e[i].u, e[i].v);
			num[id[e[i].v]]=e[i].w;
		}
		build(2, n, 1);
		for(ch=getchar(); ch<'A' || ch>'Z'; ch=getchar());
		while(ch!='D') {
			read(a); read(b);
			if(ch=='C') { key=b; L=R=id[e[a].v]; update(2, n, 1); }
			else printf("%d\n", getmax(a, b));
			for(ch=getchar(); ch<'A' || ch>'Z'; ch=getchar());
		}
	}
	return 0;	
}