通信网络规划的最短路径（最小生成树的2种算法介绍）

《大话数据结构》中在“图”的那一章节有这样一个实例：假设你是电信实施工程师，需要为一个镇的九个村庄架设通信网络做设计。村庄位置大致如下图，之间连线的数字表示村与村间的可通达直线距离（个别如v0与v6，v6与v8，v5与v7未测算距离是因为有高山或湖泊，不予考虑）。你们领导要求你必须用最小的成本完成这次任务。你说怎么办？

我之前在某家设计院也是做网络规划设计的，而且觉得很有实际意义，所以拿出来给大家分享一下。其实这个案例就是查找连通网的最小生成树。这术语不懂也没关系，我们不管它叫什么。

有人说，这还不简单嘛，我凭着直觉就能做出来。不排除你有这种能力，有时候人类的“直觉”真的是强大，也不知道人类是如何进化到这么聪慧的。

有人说，把所有可能的方案罗列出来，再一一比对，找到最短路径的那个方案，就行了。这确实是个好办法，实际上我们也是这样做的。那么怎么去罗列所有的方案呢？。

为了便于描述上面的图，我们构造图的邻接矩阵。如下图所示：

在单纯的计算或者有规律的运算方面，我们很容易想到借助计算机来帮忙解决。 刚刚我提到人类的直觉是很强大的，比如有的人答题的时候直接省略了步骤得出了结果，而要他写详细的步骤可能他也说不太清。计算机是没有直觉的，某些我们认为很简单的东西她可能要运算很多次，而且你还得教她怎样按照她自己“有限的能力”去执行，可是往往我们不知道怎么去教计算机，也就是具体的怎样写代码。

这里介绍两种思路，也就是两个算法：

一、一种思路是这样的：

从v0（可以任意选定一点，这里选v0）开始，找到与其相连的最短的路径，定义两个一维数组a，b。a存储相关顶点的权值（边长度），b存储对应的顶点。路径(b[i],i)的权值为a[i].i为0至8的整数，v0为起点至各点的权值如下所示（实际中我们用65535来代表无穷大）。

求a数组中的最小值，为10，对应的i为1，标记边（v0，v1）并让ai置为0，代表vi已经纳入生成路径了（此时i为1）。

然后从v1开始，排除a[i]=0对应的顶点vi，当（v1，vi）的权值小于此时a[i]的值，将前者替换掉后者，更新a数组的值。

求a数组中的最小值，为11，对应的i为5，标记边（v0，v5）并让a5置为0，代表v5已经纳入生成路径了。

然后从v5开始，排除a[i]=0对应的顶点vi，当（v5，vi）的权值小于此时a[i]的值，将前者替换掉后者，更新a数组的值。

 

下面的步骤依此类推，以表格表述。

上面这个一步步找到最优路径的方法其实就是普里姆算法。是不是很巧妙呢？我猜是一个叫普里姆的人发明的方法。具体的代码实现如下（从《大话数据结构》拷贝的）：

二、一种思路是这样的：

将各边所对应的起始点及权值（边长）按权值排序，整理成下表所示：

这种方法就是以边为核心，每次搜索相关的最短边，排除掉形成闭环的边。

第一次找到的边为（v4，v7）

第二次找到的边为（v2，v8）

第三次找到的边为（v0，v1）

第四次找到的边为（v0，v5）

第五次找到的边为（v1，v8）

第六次找到的边为（v3，v7）

第七次找到的边为（v1，v6）

第八次找到的边为：这次按边长排序轮到（v5，v6），但是此时与上面所找到这些边形成了环路。过滤掉！

第九次找到的边为：这次按边长排序轮到（v1，v2），但是此时与上面所找到这些边形成了环路。过滤掉！

第十次找到的边为（v6，v7）

此后的边均构成环路，过滤掉。

过程是很明晰的，但是算法的具体实现却很精妙。也是用数组的模型，占位更新的思想去实现。每次确定了一条边就在数组中相应位置用相关值做上标记。判断是否形成环路的方法也是很巧妙的，桥接起了边与起始点的关系：形成一个环路就是起始点首尾依次连接，最后回到起点。

下面贴上代码及分析：

最终最小生成树就是如下图标黑所示：

 

对比两个算法，克鲁斯算法边数少时，效率会非常高；而普里姆算法对于边数非常多的情况会更好一些。

关于这两个算法相信大家都大概了解了。或许有人会对上面算法的正确性存疑，可以在网上搜索一下相关证明或者验证，我这边提供一个链接作为参考http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html