USACO Section1.1 Broken Necklace 解题报告

　　　　beads解题报告 —— icedream61 博客园（转载请注明出处）
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【题目】
　　输入文件：第一行N；第二行一个字符串A，长度为N。字符串中，仅有r、w、b三种字符，分别代表红、白、蓝。
　　A代表一串项链，有三种颜色的珠子。将A首位相接，而后从一个地方断开，形成新的串B。从B首尾分别开始向中间按以下规则取珠子，求最多得到多少颗。
　　规则：每边都连续取，不能跳；只能取一种颜色的珠子，w可以视为任何颜色。例如rwwrrwbwr，左边能取6个，w视为r；右边只能取2个，因为有r且不能跳过b。
【数据范围】
　　3<=N<=500
【输入文件】
　　77
　　rwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwbwrwbwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwrwr
【输出文件】
　　74
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【分析1——暴力】
　　本题数据很小，枚举法即可。N个分割位置，每个位置最多数2N个珠子，时间复杂度是O(N²)。
　　本题难点在于，数珠子要求一定的编程严谨性。
【分析2——NEW】
　　本题基本思路，枚举N个位置，N个分割结果中取最大值即为答案。
　　从每个位置往两侧数，加起来再去重（所有珠子都可以取的时候会产生重复）就是从这里分割的结果了。
　　那么，我们可以考虑降低从某个位置往两侧数的时间。假设当前处于位置i，珠子颜色是r，正在向右数。显然应当数到第一个b为止。而这条路径上的所有r，都应数到同一个b为止；所有w，则除了紧贴着b的几个w外，都应数到b为止。那么，我们便可以考虑，把这些点数一次就统统解决，减少重复的时间。
　　为了达到上述效果，我们反过来考虑：如果我站在某个b的位置上（这个位置记为k），往左看，则可以看到很多w和b，再继续则会看到很多r和w。那么，我从这个b往左一直走，走到的第一个r位置记为j，从j再继续走看到的第一个b位置记为i。显然，i+1到j的所有珠子向右数的结果我就都能确定下来了，就是数到k-1为止；同时，j+1到k的所有珠子向左数的结果我也都能确定下来了，就是数到j+1为止。（看到这里，脑子乱的同学一定要画个图来看看！）
　　我们仔细看看上面的过程，到底是什么地方让我们一下子就确定下来这么多点的呢？没错！就是相邻的r和b～（当然，中间的w不影响“相邻”这个说法。）因此，我们可以考虑实际操作的时候从这里入手：先从随便一个地方开始扫，扫到第一个非w的地方记为x，不妨设这里是r；而后，再继续扫，找到第一个b位置记为z。（如果扫完一圈都找不到b，那么本题答案是N。）那么此时，我们记z左边的第一个r位置是y，这在从x扫到z的过程中很容易顺带求出来。如此一来，我们就得到了相邻的两个珠子，左边的y是r，右边的z是b。此时，从z开始继续向右扫，直到第一个r为止，此处记为x（之前的x没用了，扔掉）。这个过程中，z到x-1的所有珠子向左都是数到y+1为止。而此时，我们又得到了第二组相邻的珠子，右边的x是r，而左边的则是刚才过程中记下来的x左边第一个b，于是，重复上述过程即可……直至找到所有珠子向左数的结果。
　　这样做有些乱，建议大家一定要画个图理清思路，否则一定是编不对的……不过别沮丧，我们可是硬生生地把复杂度从O(N²)降到了O(N)啊！作为小作者的我，还是非常有成就感的^.^
【分析3——DP】
　　本题考虑使用DP，仍是去降低数数的时间。
　　定义：对于位置i的珠子，向左数结果为L[i]，向右数结果为R[i]。
　　定义：对于位置i的w珠子，向左数的过程中此点被视为的颜色为Lc[i]，左边连续的w个数（包括自己）为Ln[i]；右侧对应记为Rc[i]与Rn[i]。
　　状态转移方程：
　　　　对于位置i颜色r的珠子，
　　　　　　1.如果i-1是r，那么L[i]=L[i-1]+1;
　　　　　　2.如果i-1是b，那么L[i]=1;
　　　　　　3.如果i-1式w，那么L[i]=(Lc[i-1]=='r')?(L[i-1]+1):(Ln[i]+1);
　　　　对于位置i颜色w的珠子，那么L[i]=L[i-1]+1;
　　　　　　1.如果i-1有颜色，那么Lc[i]为i-1的颜色，Ln[i]=1;
　　　　　　2.如果i-1无颜色，那么Lc[i]=Lc[i-1]，Ln[i]=Ln[i-1]+1;
　　　　右侧则对称定义即可。
　　边界条件：开始随便找一个点，位置记为i。从i向两侧数出i点所有信息即可。
　　DP过程：从i点向右DP直至绕一圈到i-1，再同样从i点向左DP到i+1。
　　至此，每个点向左向右数的结果都已知晓，直接枚举所有位置求出答案即可，时间复杂度O(N)。
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【总结】
　　这道题我犯了几个细节错误，充分说明了我现在手生。
　　犯的错误有
　　　　1.忘了答案超过N时去重
　　　　2.在C/C++中，当i<0,N>0时，i%N结果为i，而不是i+N。因此，当往左数的时候，要将i=(i-1)%N写成i=(i-1+N)%N。
　　注：我写的是方法1。

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【代码】

/*
ID: icedrea1
PROG: beads
LANG: C++
*/

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;

int N;
string B;

char now(char x,char y)
{
    return x=='w'?y:x;
}
bool good(char x,char y)
{
    return x==y || x=='w' || y=='w';
}
int go(int i,int add)
{
    bool p=false;
    if(i>15 && i<35) p=true;
    if(p) cout<<"i="<<i<<"\tadd="<<add<<"\t"<<B[i];
    int s=1;
    char x=B[i];
    for(i=(i+add+N)%N;
        good(x,B[i]) && s<N;
        i=(i+add+N)%N)
    {
        ++s;
        x=now(x,B[i]);
    }
    if(p) cout<<"\ts="<<s<<"\ti="<<i<<endl;
    return s;
}
void change(int &r,int x)
{
    static int time = 54;
    if(x>r) r=x;
    //if(--time>0 && time<34) cout<<"\tx="<<x<<"\n"<<endl;
}
int main()
{
    ifstream in("beads.in");
    ofstream out("beads.out");

    int r=0;
    in>>N>>B;
    cout<<"B[0]="<<B[0]<<endl;
    cout<<"B[N-1]="<<B[N-1]<<endl;
    for(int i=0;i!=N;++i)
    {
        // selebrate i and i+1
        change(r,go(i,-1)+go((i+1)%N,1));
    }
    out<<(r<N?r:N)<<endl;

    in.close();
    out.close();
    return 0;
}