浅谈KL散度

一、第一种理解  

  相对熵(relative entropy)又称为KL散度(Kullback–Leibler divergence,简称KLD),信息散度(information divergence),信息增益(information gain)。 
  KL散度是两个概率分布P和Q差别的非对称性的度量。

      KL散度是用来度量使用基于Q的编码来编码来自P的样本平均所需的额外的比特个数。 典型情况下,P表示数据的真实分布,Q表示数据的理论分布,模型分布,或P的近似分布。

  根据shannon的信息论,给定一个字符集的概率分布,我们可以设计一种编码,使得表示该字符集组成的字符串平均需要的比特数最少。假设这个字符集是X,对x∈X,其出现概率为P(x),那么其最优编码平均需要的比特数等于这个字符集的熵:

  H(X)=∑x∈XP(x)log[1/P(x)]

  在同样的字符集上,假设存在另一个概率分布Q(X)。如果用概率分布P(X)的最优编码(即字符x的编码长度等于log[1/P(x)]),来为符合分布Q(X)的字符编码,那么表示这些字符就会比理想情况多用一些比特数。KL-divergence就是用来衡量这种情况下平均每个字符多用的比特数,因此可以用来衡量两个分布的距离。即:

  DKL(Q||P)=∑x∈XQ(x)[log(1/P(x))] - ∑x∈XQ(x)[log[1/Q(x)]]=∑x∈XQ(x)log[Q(x)/P(x)]

  由于-log(u)是凸函数,因此有下面的不等式

  DKL(Q||P) = -∑x∈XQ(x)log[P(x)/Q(x)] = E[-logP(x)/Q(x)] ≥ -logE[P(x)/Q(x)] = -  log∑x∈XQ(x)P(x)/Q(x) = 0

  即KL-divergence始终是大于等于0的。当且仅当两分布相同时,KL-divergence等于0。

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  举一个实际的例子吧:比如有四个类别,一个方法A得到四个类别的概率分别是0.1,0.2,0.3,0.4。另一种方法B(或者说是事实情况)是得到四个类别的概率分别是0.4,0.3,0.2,0.1,那么这两个分布的KL-Distance(A,B)=0.1*log(0.1/0.4)+0.2*log(0.2/0.3)+0.3*log(0.3/0.2)+0.4*log(0.4/0.1)

  这个里面有正的,有负的,可以证明KL-Distance()>=0.

  从上面可以看出, KL散度是不对称的。即KL-Distance(A,B)!=KL-Distance(B,A)

  KL散度是不对称的,当然,如果希望把它变对称,

  Ds(p1, p2) = [D(p1, p2) + D(p2, p1)] / 2.

二、第二种理解

  今天开始来讲相对熵,我们知道信息熵反应了一个系统的有序化程度,一个系统越是有序,那么它的信息熵就越低,反之就越高。下面是熵的定义

   如果一个随机变量的可能取值为,对应的概率为,则随机变的熵定义为

            

  有了信息熵的定义,接下来开始学习相对熵。

  1. 相对熵的认识

   相对熵又称互熵,交叉熵,鉴别信息,Kullback熵,Kullback-Leible散度(即KL散度)等。设

   是取值的两个概率概率分布,则的相对熵为          

   在一定程度上,熵可以度量两个随机变量的距离。KL散度是两个概率分布P和Q差别的非对称性的度量。KL散度是

   用来度量使用基于Q的编码来编码来自P的样本平均所需的额外的位元数。 典型情况下,P表示数据的真实分布,Q

   表示数据的理论分布,模型分布,或P的近似分布。

2. 相对熵的性质

   相对熵(KL散度)有两个主要的性质。如下

   (1)尽管KL散度从直观上是个度量或距离函数,但它并不是一个真正的度量或者距离,因为它不具有对称性,即

       

   (2)相对熵的值为非负值,即

       

       在证明之前,需要认识一个重要的不等式,叫做吉布斯不等式。内容如下

  3. 相对熵的应用

   相对熵可以衡量两个随机分布之间的距离,当两个随机分布相同时,它们的相对熵为零,当两个随机分布的差别增

   大时,它们的相对熵也会增大。所以相对熵(KL散度)可以用于比较文本的相似度,先统计出词的频率,然后计算

   KL散度就行了。另外,在多指标系统评估中,指标权重分配是一个重点和难点,通过相对熵可以处理。

三、用在CF中

 

  第一,KLD需要概率(脸颊和1),但是用评分。

  第二,后面两项的作用。

 

 

 

posted @ 2015-10-26 16:46 火星十一郎 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏