【转】快速选择算法——BFPRT算法

BFPRT算法，又称为中位数的中位数算法，由5位大牛（Blum 、 Floyd 、 Pratt 、 Rivest 、 Tarjan）提出，并以他们的名字命名。参考维基上的介绍Median of medians。

算法的思想是修改快速选择算法的主元选取方法，提高算法在最坏情况下的时间复杂度。其主要步骤为：

1. 首先把数组按5个数为一组进行分组，最后不足5个的忽略。对每组数进行排序（如插入排序）求取其中位数。
2. 把上一步的所有中位数移到数组的前面，对这些中位数递归调用BFPRT算法求得他们的中位数。
3. 将上一步得到的中位数作为划分的主元进行整个数组的划分。
4. 判断第k个数在划分结果的左边、右边还是恰好是划分结果本身，前两者递归处理，后者直接返回答案。

这里简单分析一下BFPRT算法的复杂度。

划分时以5个元素为一组求取中位数，共得到n/5个中位数，再递归求取中位数，复杂度为T(n/5)。

得到的中位数x作为主元进行划分，在n/5个中位数中，主元x大于其中1/2*n/5=n/10的中位数，而每个中位数在其本来的5个数的小组中又大于或等于其中的3个数，所以主元x至少大于所有数中的n/10*3=3/10*n个。同理，主元x至少小于所有数中的3/10*n个。即划分之后，任意一边的长度至少为3/10，在最坏情况下，每次选择都选到了7/10的那一部分，则递归的复杂度为T(7/10*n)。

在每5个数求中位数和划分的函数中，进行若干个次线性的扫描，其时间复杂度为c*n，其中c为常数。其总的时间复杂度满足T(n) <= T(n/5) + T(7/10*n) + c * n。

我们假设T(n)=x*n，其中x不一定是常数（比如x可以为n的倍数，则对应的T(n)=O(n^2)）。则有 x*n <= x*n/5 + x*7/10*n + c*n，得到 x<=10*c。于是可以知道x与n无关，T(n)<=10*c*n，为线性时间复杂度算法。而这又是最坏情况下的分析，故BFPRT可以在最坏情况下以线性时间求得n个数中的第k个数