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       整数划分问题是算法中的一个经典命题之一,有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分,是指把一个正整数n写成如下形式:

       n=m1+m2+...+mi; (其中mi为正整数,并且1 <= mi <= n),则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。

       如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m,即max(m1,m2,...,mi)<=m,则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

       例如但n=4时,他有5个划分,{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

       注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。

       该问题是求出n的所有划分个数,即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;

 

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                                           (一)递归法

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       根据n和m的关系,考虑以下几种情况: 

       (1)当 n = 1 时,不论m的值为多少(m > 0 ),只有一种划分即 { 1 };

        (2)  当 m = 1 时,不论n的值为多少,只有一种划分即 n 个 1,{ 1, 1, 1, ..., 1 };

        (3)  当 n = m 时,根据划分中是否包含 n,可以分为两种情况:

              (a). 划分中包含n的情况,只有一个即 { n };

              (b). 划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比 n 小,即 n 的所有 ( n - 1 ) 划分。

              因此 f(n, n) = 1 + f(n, n-1);

        (4) 当 n < m 时,由于划分中不可能出现负数,因此就相当于 f(n, n);

        (5) 但 n > m 时,根据划分中是否包含最大值 m,可以分为两种情况:

               (a). 划分中包含 m 的情况,即 { m, { x1, x2, ..., xi } }, 其中 { x1, x2, ..., xi } 的和为 n - m,可能再次出现 m,因此是(n - m)的 m 划分,因此这种划分

                     个数为 f(n-m, m);

               (b). 划分中不包含 m 的情况,则划分中所有值都比 m 小,即 n 的 ( m - 1 ) 划分,个数为 f(n, m - 1);

              因此 f(n, m) = f(n - m, m) + f(n, m - 1);

 

         综合以上情况,我们可以看出,上面的结论具有递归定义特征,其中(1)和(2)属于回归条件,(3)和(4)属于特殊情况,将会转换为情况(5)。而情况(5)为通用情况,属于递推的方法,其本质主要是通过减小m以达到回归条件,从而解决问题。其递推表达式如下:

         f(n, m) =      1;                                        ( n = 1 or m = 1 )

                            f(n, n);                                 ( n < m )

                            1+ f(n, m - 1);                      ( n = m )

                            f(n - m, m) + f(n, m - 1);       ( n > m )

 

          因此我们可以给出求出 f(n, m) 的递归函数代码如下(引用 Copyright Ching-Kuang Shene July / 23 / 1989 的代码):

 

计算f(n,m),即n的m划分的个数

 

        我们可以发现,这个命题的特征和另一个递归命题:

       “上台阶”问题(斐波那契数列)(http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2007/07/13/817188.html

        相似,也就是说,由于树的“天然递归性”,使这类问题的解可以通过树来展现,每一个叶子节点的路径是一个解。因此把上面的函数改造一下,让所有划分装配到一个.NET类库中的TreeView控件,相关代码(c#)如下:

 

组装TreeView

 

        如果我们要输出所有解,只需要输出所有叶子节点的路径即可,可以同样用递归函数来输出所有叶子节点(代码中使用了一个StringBuilder对象来接收所有叶子节点的路径):

 

获取所有叶子节点的路径

 

        这个小例子的运行效果如下(源代码都在文中,就不提供下载链接):

       

        通过递归思路,我们给出了n的划分个数的算法,也把所有划分组装到一棵树中。好,关于递归思路我们就暂时介绍到这里。关于输出所有划分的标准代码在这里省略了,我们有时间再做详细分析。

 

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                                         (二)母函数法

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        下面我们从另一个角度即“母函数”的角度来考虑这个问题。

        所谓母函数,即为关于x的一个多项式G(x):

        有 G(x)= a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ...

        则我们称G(x)为序列(a0,a1,a2,...)的母函数。关于母函数的思路我们不做更多分析。

        我们从整数划分考虑,假设n的某个划分中,1的出现个数记为a1,2的个数记为a2,..., i的个数记为ai,

        显然: ak<=n/k; (0<= k <=n)

        因此n的划分数f(n,n),也就是从1到n这n个数字中抽取这样的组合,每个数字理论上可以无限重复出现,即个数随意,使他们的总和为n。显然,数字i可以有如下可能,出现0次(即不出现),1次,2次,..., k次,等等。把数字i用(x^i)表示,出现k次的数字i用 x^(i*k)表示, 不出现用1表示。例如数字2用x^2表示,2个2用x^4表示,3个2用x^6表示,k个2用x^2k表示。

         则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为:

         G(x) = (1+x+x^2+x^3+...+x^n) (1+x^2+x^4+...) (1+x^3+x^6+...) ... (1+x^n)

                 = g(x,1) g(x,2) g(x,3) ... g(x, n)

                 = a0 + a1* x + a2* x^2 + ... + an* x^n + ... ;  (展开式)

        上面的表达式中,每一个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此该多项式展开后,由于x^a * x^b=x^(a+b),因此 x^i 就代表了i的划分,展开后(x^i)项的系数也就是i的所有划分的个数,即f(n,n)=an (上式中g(x,i)表示数字i的所有可能出现情况)。

        由此我们找到了关于整数划分的母函数G(x);剩下的问题是,我们需要求出G(x)的展开后的所有系数。

        为此我们首先要做多项式乘法,对于我们来说并不困难。我们把一个关于x的一元多项式用一个整数数组a[]表示,a[i]代表x^i的系数,即:

        g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a[n]x^n;

        则关于多项式乘法的代码如下,其中数组a和数组b表示两个要相乘的多项式,结果存储到数组c:

 

多项式相乘,即c=a*b

 

       下面我们求出G(x)的展开结果,G(x)是n个多项式连乘的结果:

 

计算G(x)的前N项系数

 

      通过以上的代码,我们就计算出了G(x)的展开后的结果,保存到数组c中。此时有:f(n,n)=c[n];剩下的工作只是把相应的数组元素输出即可。

      问题到了这里已经解决完毕。但我们发现,针对该问题,g(x,k)是一个比较特殊的多项式,特点是只有k的整数倍的索引位置有项,而其他位置都为0,具有项“稀疏”的特点,并且项次分布均匀(次数跨度为k)。这样我们就可以考虑在计算多项式乘法时,可以减少一些循环。因此可以对Poly函数做这样的一个改进,即把k作为参数传递给Poly:

改进后的多项式乘法

 

      这样,原有的函数可以认为是k=1的情况(即多项式b不具有上诉规律)。相应的,在上面的Init函数中的调用改为Poly2(k)即可。   

 

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参考资料:

(1)关于“递归”部分的代码,参考了Ching-Kuang Shene,July/23/1989的代码;

(2)关于“母函数”部分,参考了《Acm程序设计》(刘春英)(PPT文档);

(3)“母函数”方法的Init和Poly的代码,参考了某位教师的代码  : ymc 2008/09/25, 其中多项式乘法的改进是我提出的建议。

                             -- by hoodlum1980  2008-10-11 

 

 

posted on 2008-10-11 05:53 hoodlum1980 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏